PROOF 99
증명하라.
밑변환 공식
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a > 0, a ≠ 1 이고 x > 0 일 때 logₐ x 는 aʸ = x 를 만족하는 y 를 뜻한다.
증명.
(1)A2 가 그러한 y 의 존재와 유일성을 보장한다.A2
(2)새 밑 k 도 k > 0, k ≠ 1 을 만족하는 수로 둔다.약속
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보조정리 L1
k > 0, k ≠ 1 이고 a > 0, a ≠ 1 이면 logₖ a ≠ 0
증명.
(1)logₖ a = 0 이라 하자.가정
(2)정의에 의하여 k⁰ = a 이다.(1), D1
(3)k⁰ = 1 이다.A3
(4)그러므로 a = 1 이다.(2), (3), E
(5)이는 a ≠ 1 에 모순이므로 logₖ a ≠ 0 이다.(4), 가정
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정리 T
a > 0, a ≠ 1, x > 0, k > 0, k ≠ 1 이면 logₐ x = logₖ x / logₖ a
증명.
(1)y = logₐ x 로 둔다.D1
(2)aʸ = x 이다.(1), D1
(3)양변에 밑이 k 인 로그를 취한다. logₖ(aʸ) = logₖ x(2), D1, E
(4)logₖ(aʸ) = y logₖ a 이다.A1
(5)y logₖ a = logₖ x(3), (4), E
(6)logₖ a ≠ 0 이다.L1
(7)y = logₖ x / logₖ a(5), (6), A5
(8)logₐ x = logₖ x / logₖ a(1), (7)
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따름정리 C
x > 0 이고 x ≠ 1 이면 logₐ x = 1 / logₓ a
증명.
(1)정리에서 새 밑을 k = x 로 둔다.T, 가정
(2)x¹ = x 이므로 logₓ x = 1 이다.A4, D1
(3)logₐ x = logₓ x / logₓ a = 1 / logₓ a(1), (2)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
밑이 다른 두 로그를 잇는 줄이 어디인지 확인하라.