PROOF 100
증명하라.
로그의 진수는 양수여야 한다
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
logₐ x 는 aʸ = x 를 만족하는 y 를 뜻한다.
증명.
(1)로그는 지수를 거꾸로 묻는 이름이다. 밑을 몇 제곱해야 x 가 되는가.약속
(2)이 이름이 뜻을 가지려면 그러한 y 가 존재하고 하나뿐이어야 한다.약속
(3)존재하지 않으면 가리킬 값이 없고, 둘 이상이면 어느 것인지 정해지지 않는다.약속
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보조정리 L1
a > 0 이고 y 가 실수이면 aʸ > 0
증명.
(1)y + (−y) = 0 이다.A8
(2)aʸ × a⁻ʸ = a⁰ = 1 이다.(1), A1, A2, E
(3)aʸ = 0 이라면 0 × a⁻ʸ = 0 이 되어 (2) 에 모순이다.(2), A3, A9, A5
(4)그러므로 aʸ ≠ 0 이며, 같은 논법으로 모든 실수 u 에 대하여 aᵘ ≠ 0 이다.(3)
(5)u = y/2 로 두면 y = u + u 이다.약속
(6)aʸ = aᵘ⁺ᵘ = aᵘ × aᵘ 이다.(5), A1, E
(7)aᵘ ≠ 0 이므로 aᵘ × aᵘ > 0 이다.(4), A4
(8)그러므로 aʸ > 0 이다.(6), (7), E
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정리 T1
a > 0, a ≠ 1 일 때 x ≤ 0 이면 logₐ x 는 정의되지 않는다.
증명.
(1)x ≤ 0 이라 하자.가정
(2)모든 실수 y 에 대하여 aʸ > 0 이다.L1
(3)aʸ = x 이면 x > 0 이 되어 (1) 에 모순이다.(1), (2), A5
(4)그러므로 aʸ = x 를 만족하는 y 는 존재하지 않는다.(3)
(5)가리킬 값이 없으므로 logₐ x 는 뜻을 갖지 못한다.(4), D1
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정리 T2
로그의 밑에는 a > 0 과 a ≠ 1 이 함께 필요하다.
증명.
(1)a = 1 이라 하자.가정
(2)모든 실수 y 에 대하여 1ʸ = 1 이다.A6
(3)x = 1 이면 조건을 만족하는 y 가 무수히 많다.(2), D1
(4)x ≠ 1 이면 그러한 y 가 하나도 없다.(2), D1
(5)어느 쪽이든 값이 하나로 정해지지 않으므로 밑 1 은 쓸 수 없다.(3), (4), D1
(6)이번에는 a = −1 로 두고 u = 1/2 라 하자.가정
(7)aᵘ 가 실수라면 aᵘ × aᵘ = a¹ = −1 이다.(6), A1, A7
(8)aᵘ ≠ 0 이면 aᵘ × aᵘ > 0 이고, aᵘ = 0 이면 aᵘ × aᵘ = 0 이다.A4, A3
(9)−1 < 0 이므로 두 경우 모두 (7) 에 모순이다.(7), (8), A9
(10)그러므로 밑이 음수이면 aᵘ 가 실수 밖으로 나간다.(9)
(11)밑에는 a > 0 과 a ≠ 1 이 함께 필요하다.(5), (10)
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비고
A4 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
0 이 아니라는 것과 양수라는 것은 서로 다른 문장이다. 그 사이를 건너는 줄을 찾아라.