PROOF 98
증명하라.
log(aⁿ) = n log a
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자연수 n 에 대하여 aⁿ 은 a 를 n 번 곱한 것이다.
증명.
(1)a¹ = a 이고, 자연수 n 에 대하여 aⁿ⁺¹ = aⁿ × a 이다.약속
(2)밑 c 는 1 보다 큰 수로 고정하고, log 는 밑이 c 인 로그를 뜻한다.약속
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보조정리 L1
a > 0 이면 모든 자연수 n 에 대하여 aⁿ > 0
증명.
(1)n = 1 일 때 a¹ = a > 0 이다.D1, 가정
(2)aⁿ > 0 이라 하자.가정
(3)aⁿ⁺¹ = aⁿ × a 이다.D1
(4)양수의 곱은 양수이므로 aⁿ⁺¹ > 0 이다.(2), (3), A3
(5)귀납법에 의하여 모든 자연수 n 에서 성립한다.(1), (4), A2
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정리 T1
a > 0 이고 n 이 자연수이면 log(aⁿ) = n log a
증명.
(1)n = 1 일 때 a¹ = a 이므로 log(a¹) = log a 이다.D1
(2)1 × log a = log a 이므로 n = 1 에서 성립한다.(1), A5
(3)log(aⁿ) = n log a 라 하자.가정
(4)aⁿ > 0 이고 a > 0 이다.L1
(5)log(aⁿ × a) = log(aⁿ) + log a(4), A1
(6)aⁿ⁺¹ = aⁿ × a 이므로 log(aⁿ⁺¹) = log(aⁿ) + log a(5), D1, E
(7) = n log a + log a(3), (6)
(8) = (n + 1) log a(7), A4, A5
(9)귀납법에 의하여 모든 자연수 n 에서 성립한다.(2), (8), A2
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보조정리 L2
log 1 = 0
증명.
(1)1 × 1 = 1 이고 1 > 0 이다.A5, A13
(2)log(1 × 1) = log 1 + log 1(1), A1
(3)log 1 + log 1 = log 1(1), (2), E
(4)log 1 = 0(3), A11
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정리 T2
a > 0 이고 n 이 정수이면 log(aⁿ) = n log a
증명.
(1)n 이 자연수이면 T1 이 그대로 준다.T1
(2)n = 0 이라 하자. a⁰ = 1 이다.A7
(3)log(a⁰) = log 1 = 0 이고 0 × log a = 0 이다.(2), L2, A6, E
(4)그러므로 n = 0 에서 성립한다.(3)
(5)n < 0 이라 하고 m = −n 으로 둔다. m 은 자연수다.가정
(6)aⁿ = a⁻ᵐ = 1/aᵐ 이다.(5), A8
(7)aᵐ × aⁿ = 1 이고 aᵐ > 0, aⁿ > 0 이다.(6), A9, L1, A10
(8)log(aᵐ) + log(aⁿ) = log 1 = 0(7), A1, L2
(9)log(aⁿ) = −log(aᵐ)(8), A12
(10) = −m log a = n log a(5), (9), T1
(11)세 경우가 정수 전체를 덮으므로 모든 정수 n 에서 성립한다.(1), (4), (10)
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따름정리 C
a > 0 이고 r 가 유리수이면 log(aʳ) = r log a
증명.
(1)r = p/k (p 는 정수, k 는 자연수) 로 두고 b = aʳ 로 둔다.약속
(2)유리수 지수의 정의에 의하여 bᵏ = aᵖ 이다.(1), A14
(3)b 는 양수로 정한다.약속
(4)log(bᵏ) = k log b 이다.(3), T1
(5)log(aᵖ) = p log a 이다.T2
(6)k log b = p log a(2), (4), (5), E
(7)k ≠ 0 이므로 log b = (p/k) log a = r log a(1), (6), E
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
n 을 하나 정한 뒤의 계산과, 모든 n 에 대한 문장은 서로 다른 것이다.