PROOF 96
증명하라.
√(ab) = √a √b 가 성립하는 조건
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a ≥ 0 에 대하여 √a 는 x × x = a 를 만족하는 음이 아닌 x 를 뜻한다.
증명.
(1)x² 은 x × x 를 뜻한다.약속
(2)A1 이 그러한 x 의 존재를 보장한다.A1
(3)음이 아닌 쪽을 고르는 것은 규약이다. 그래야 √ 가 값을 하나로 정한다.약속
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보조정리 L1
x ≥ 0, y ≥ 0 이고 x² = y² 이면 x = y
증명.
(1)x ≠ y 라 하자.가정
(2)x < y 또는 y < x 이다.(1), A3
(3)x < y 이면 x² < y² 이다.(2), A2
(4)y < x 이면 y² < x² 이다.(2), A2
(5)어느 쪽이든 x² ≠ y² 이다.(3), (4), A3
(6)이는 x² = y² 에 모순이므로 x = y 이다.(5), 가정
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정리 T
a ≥ 0 이고 b ≥ 0 이면 √(ab) = √a √b
증명.
(1)ab ≥ 0 이다.A4
(2)√(ab) 가 정의되며 √(ab) ≥ 0 이고 (√(ab))² = ab 이다.(1), D1
(3)√a ≥ 0, √b ≥ 0 이고 √a √a = a, √b √b = b 이다.D1
(4)√a √b ≥ 0 이다.(3), A4
(5)(√a √b)² = (√a √b)(√a √b)D1
(6) = (√a √a)(√b √b)A5, A6
(7) = ab(3), (6), E
(8)두 수는 모두 음이 아니고 제곱이 ab 로 같다.(2), (4), (7)
(9)그러므로 √(ab) = √a √b 이다.(8), L1
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따름정리 C
조건 a ≥ 0, b ≥ 0 은 뺄 수 없다. a = b = −1 에서 등식이 깨진다.
증명.
(1)a = −1, b = −1 로 둔다.가정
(2)ab = (−1)(−1) = 1 이다.(1), A8
(3)1 × 1 = 1 이고 1 > 0 이므로 좌변은 √(ab) = √1 = 1 이다.(2), A9, A10, D1
(4)모든 실수 x 에 대하여 x² ≥ 0 이다.A7
(5)−1 < 0 이므로 x² = −1 을 만족하는 실수 x 는 없다.(4), A10, A3
(6)그러므로 √(−1) 은 이 무대에서 정의되지 않는다.(5), D1
(7)좌변은 1 로 정해지지만 우변 √a √b 는 뜻을 갖지 않는다.(3), (6)
(8)무대를 복소수로 넓혀 √(−1) 을 i 로 두었다고 하자.가정
(9)그러면 우변은 i × i = −1 이고 좌변은 1 이다.(3), (8), 약속
(10)넓히기 전에는 뜻이 없고, 넓힌 뒤에는 값이 다르다.(7), (9)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
제곱이 같다는 사실에서 두 수가 같다는 결론으로 넘어가는 줄을 확인하라.