PROOF 97
증명하라.
√(a²) 은 a 의 절댓값이다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
|a| 는 a ≥ 0 이면 a 를, a < 0 이면 −a 를 뜻한다.
증명.
(1)모든 실수는 두 경우 가운데 정확히 하나에 속한다.A7
(2)절댓값은 부호를 떼는 조작이 아니라, 경우로 나누어 정한 값이다.약속
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정의 D2
x ≥ 0 에 대하여 √x 는 y² = x 를 만족하는 음이 아닌 y 를 뜻한다.
증명.
(1)A2 가 그러한 y 의 존재를 보장한다.A2
(2)y 가 해이면 −y 도 해이므로 해는 하나가 아니다.A3
(3)규약에 따라 그중 음이 아닌 쪽을 √x 로 정한다.A1
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보조정리 L1
모든 실수 a 에 대하여 |a| ≥ 0
증명.
(1)a ≥ 0 이면 |a| = a 이므로 |a| ≥ 0 이다.D1
(2)a < 0 이면 |a| = −a 이다.D1
(3)a < 0 이면 −a > 0 이다.A6
(4)두 경우가 실수 전체를 덮으므로 언제나 |a| ≥ 0 이다.(1), (2), (3), A7
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보조정리 L2
모든 실수 a 에 대하여 |a|² = a²
증명.
(1)a ≥ 0 이면 |a| = a 이므로 |a|² = a² 이다.D1, E
(2)a < 0 이면 |a| = −a 이다.D1
(3)(−a)² = a² 이다.A3
(4)그러므로 a < 0 일 때도 |a|² = a² 이다.(2), (3), E
(5)두 경우가 실수 전체를 덮으므로 언제나 |a|² = a² 이다.(1), (4), A7
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정리 T
모든 실수 a 에 대하여 √(a²) = |a|
증명.
(1)a² ≥ 0 이므로 √(a²) 이 정의된다.A5, D2
(2)√(a²) ≥ 0 이고 (√(a²))² = a² 이다.D2
(3)|a| ≥ 0 이다.L1
(4)|a|² = a² 이다.L2
(5)두 수는 음이 아니고 제곱이 a² 로 같다.(2), (3), (4)
(6)그러므로 √(a²) = |a| 이다.(5), A4
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따름정리 C
a² = b² 에서 따라 나오는 것은 a = b 가 아니라 |a| = |b| 다.
증명.
(1)a² = b² 라 하자.가정
(2)양변에 √ 를 취하면 √(a²) = √(b²) 이다.(1), E, D2
(3)그러므로 |a| = |b| 이다.(2), T
(4)a = −3, b = 3 이면 a² = b² 이지만 a ≠ b 이다.A8
(5)제곱한 식에서 원래 식으로 돌아갈 때에는 부호를 따로 확인해야 한다.(3), (4)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
√(a²) 이 a 인지 −a 인지 정하는 것이 무엇인지 확인하라.