{ } · 연립방정식
두 조건이 겹치는 단 한 점, 연립방정식
닭과 토끼가 합쳐 8마리, 다리는 모두 22개. 토끼는 몇 마리일까?
두 등식의 공통 해를 찾습니다.
1500년 전 중국 수학책에 실린 닭과 토끼 문제
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 모르는 수와 균형 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
모르는 것이 두 개인 문제가 세상엔 흔합니다. 닭과 토끼, 어른표와 아이표, 두 상품의 단가처럼요. 문자식 하나(x+y=8)로는 후보만 좁혀질 뿐 답이 정해지지 않아요.
돌파구는 조건을 하나 더 찾는 것입니다. 다리 조건(2x+4y=22)이 더해지는 순간 아홉 후보 중 단 하나만 살아남아요. 조건 두 개가 함께 가리키는 곳이 답입니다.
그리고 이를 기계적으로 푸는 소거법이 나왔습니다. 두 식을 더하고 빼서 미지수 하나를 지우면 아는 문제(일차방정식)로 떨어져요. 모르는 것을 줄여가는 이 전략이 훗날 수백 개 미지수의 연립(행렬)까지 이어집니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 닭과 토끼가 합쳐 8마리, 다리는 모두 22개. 토끼는 몇 마리일까요?
🐔🐰 토끼 수를 바꿔 다리를 세어보세요
머리는 항상 8마리(닭+토끼). 다리가 22개가 되는 조합을 찾으세요. (다리 수: 닭 2개, 토끼 4개)
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다리 합계 · 0×4 + 8×2
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
연립방정식은 여러 조건을 동시에 만족하는 값을 찾습니다. 식 하나씩의 답을 따로 구하는 것이 아니라, 조건들이 겹치는 지점을 찾는다고 생각해 보세요.
x+y=5와 x−y=1을 더하면 2x=6이므로 x=3입니다. 첫 식에 넣으면 y=2입니다. 한 문자를 없애도 두 조건을 함께 사용했다는 점이 소거법의 핵심입니다.
식 하나는 선이고, 연립은 교점이다.
x+y=8을 좌표평면에 그리면 직선이 됩니다. 그 위의 모든 점이 답 후보예요. 두 번째 식도 직선이고, 두 직선이 만나는 교점 하나가 연립의 해입니다. 대수의 소거와 기하의 교점은 같은 사건이에요.
소거는 '모르는 것 줄이기' 전략이다.
미지수 2개는 어렵지만 1개는 쉽습니다. 식끼리 빼서 하나를 지우면 어려운 문제가 아는 문제로 떨어져요. 복잡한 문제를 아는 문제로 바꾸는 수학의 대표 전략입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
조건들이 같은 말이면 해가 많을 수 있고 서로 충돌하면 해가 없을 수 있습니다.
닭과 토끼에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 닭과 토끼 소거 실험과 짝지어 보기
− ⇒
연립방정식 세우기
닭 x, 토끼 y입니다. 머리 조건과 다리 조건이에요. 미지수 2개엔 서로 다른 식 2개가 필요합니다.
소거법
첫 식을 2배 해서 빼면 x가 사라집니다. y=3(토끼), x=5(닭)이에요. 미지수 하나를 지워 아는 문제로 만듭니다.
기하적 의미
각 식은 좌표평면의 직선이고, 연립의 해는 두 직선이 만나는 단 한 점입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
미지수가 2개면 식 하나로도 풀 수 있다.
x+y=8만으로는 (0,8), (1,7), … (8,0) 아홉 가지 모두 답입니다. 미지수의 개수만큼 서로 다른 조건(식)이 있어야 답이 하나로 정해져요. 연립의 존재 이유입니다.
연립방정식은 시행착오(대입해보기)로 푸는 것이다.
8마리면 아홉 번 안에 끝나지만 800마리면 어떡할까요? 소거법은 식끼리 더하고 빼서 미지수를 하나 지우는 체계적 방법입니다. 크기와 무관하게 몇 줄로 끝나요. 시행착오는 발견의 도구, 소거는 해결의 도구입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
입장권 계산
어른표와 아이표 합쳐 5장에 47,000원, 어른 12,000원에 아이 8,000원. 각각 몇 장인지가 전형적인 연립입니다. 영수증 한 장이 식 두 개를 줘요.
두 요금제의 교차점
기본제와 무제한제의 비용식 두 개가 만나는 지점(교점)이 갈아탈 기준 사용량입니다. 부등식 실험실의 기준선이 사실 연립의 해였어요.
혼합 문제
6% 소금물과 10% 소금물을 섞어 8% 400g을 만들려면? 양 조건과 소금 조건, 식 두 개로 배합량이 정해집니다. 요리, 화학, 제약의 배합 계산이 전부 연립이에요.
내비게이션과 GPS
위성 여러 개에서 온 거리 조건들을 연립해 현재 위치를 한 점으로 조입니다. 조건이 겹칠수록 위치가 정확해지는 원리예요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
식이 두 개면 해도 항상 하나로 정해지나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
아닙니다. 같은 직선을 나타내거나 평행한 다른 직선이면 각각 무수히 많은 해 또는 해 없음이 됩니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 닭 x마리, 토끼 y마리에 대해 x + y = 8이라는 식 하나만 있습니다. 답은?
2. 두 수의 합이 30, 차가 6입니다. 큰 수는 얼마일까요?
3. x + y = 3과 2x + 2y = 6을 연립하면 해는 몇 개일까요?
4. 닭과 토끼가 합쳐 10마리, 다리는 28개입니다. 토끼는 몇 마리일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1두 수의 합이 20, 차가 4입니다. 두 수는?답 보기 ▾
x+y=20, x−y=4입니다. 두 식을 더하면 2x=24라서 x=12, y=8이에요. 더해서 한 미지수를 지우는 가감법의 가장 깔끔한 예입니다.
Q2어른표 12,000원, 아이표 8,000원. 5장에 총 52,000원이면 어른표는 몇 장?답 보기 ▾
x+y=5, 12000x+8000y=52000입니다. 첫 식×8000을 빼면 4000x=12000이라 어른 3장, 아이 2장이에요.
Q3연립방정식 x+y=3, 2x+2y=6의 해는 몇 개일까요?답 보기 ▾
무수히 많습니다. 둘째 식은 첫 식의 2배라서 사실 같은 조건(같은 직선)이에요. 식이 2개처럼 보여도 서로 다르지 않으면 답이 조여지지 않습니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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