95% · 표본과 추정
잘 섞인 표본 한 숟갈은 전체의 축소판
국 전체의 간을 보려면 다 마셔야 할까? 잘 저은 뒤 한 숟갈이면 될까?
표본의 뽑는 방법과 불확실성을 함께 읽습니다.
240만 명에게 묻고도 틀린 1936년 여론조사
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 우연 속에서 판단하기 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
전 국민의 지지율, 전체 생산품의 불량률, 시청률처럼 전수조사는 불가능하거나 너무 비쌉니다. 인류가 아는 것의 대부분은 표본에서 왔어요.
핵심 질문은 둘입니다. 표본이 전체를 닮으려면 어떻게 뽑아야 하는가(무작위), 그리고 몇 명이면 충분한가(√n의 법칙)예요.
표본을 반복해 뽑으면 평균값들이 종 모양으로 모입니다. 실험 2단계에서 표본이 쌓일수록 나타나던 그 언덕이에요. 이 사실에 붙은 이름이 중심극한정리이고, 여기서 하는 모든 계산은 그 언덕 위에 서 있습니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 5,000만 유권자의 지지율을 ±3%p 정확도로 알려면 몇 명을 조사해야 할까요?
숨겨진 모집단에서 표본을 뽑아보세요 (참값은 비밀)
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
표본은 전체를 그대로 복사한 작은 모형이 아닙니다. 무작위로 뽑아도 매번 결과가 달라지며, 추정은 바로 그 흔들림을 정량적으로 다루는 일입니다.
단순한 독립 베르누이 표본에서 비율의 표준오차는 √(p(1−p)/n)입니다. 같은 p에서 n을 네 배로 하면 표준오차는 절반이 됩니다. 이 계산은 비응답이나 편향 같은 모든 오차를 포함하지 않습니다.
표본의 힘은 크기가 아니라 무작위성에서 나온다.
100만 명이라도 치우치게 뽑으면(특정 시간대 전화 등) 쓰레기이고, 1,000명이라도 무작위면 보물입니다. 1936년 '리터러리 다이제스트'의 240만 명 조사가 틀리고 갤럽의 5만 명이 맞은 사건이 그 증거예요.
정확도를 10배 올리려면 표본은 100배 필요하다.
오차는 1/√n으로 줍니다. 1,000명이면 ±3.1%p, 10,000명이면 ±1%p예요. 이 수확체감이 '1,000명 조사'가 세계 표준이 된 경제학적 이유입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
표본설계와 정규 근사 조건을 전제로 합니다. 신뢰수준은 고정된 한 구간의 모수 확률이 아니라 반복 절차의 포함률입니다.
반복 추출 실험에서 본 출렁임의 크기를 수식으로 쓰면 다음과 같습니다.
공식 해부 — 반복 추출에서 본 출렁임과 짝지어 보기
≈ ± × √( ÷ )
표본비율의 표준오차
표본 지지율의 출렁임 크기입니다. 분모의 √n 덕분에 표본이 커질수록 출렁임이 √n의 속도로 줄어요.
95% 오차범위
정규분포의 ±2σ(95%) 규칙을 적용한 것입니다. n=1,000이면 약 ±3.1%p예요. 뉴스의 그 숫자입니다.
신뢰수준의 의미
'참값이 95% 확률로 여기 있다'가 아니라 '이 방법이 100번 중 95번 참값을 잡는다'는 방법에 대한 진술입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
5,000만 명을 알려면 표본도 수십만 명은 필요하다.
모집단에 비해 표본이 충분히 작고 단순무작위 추출을 가정하면, 비율의 최대 95% 오차범위는 n=1,000에서 약 ±3.1%p입니다. 복잡한 표본 설계, 무응답·선택 편향, 큰 추출 비율에서는 다른 보정과 검토가 필요해요.
오차범위 ±3%p면 조사가 부정확하다는 뜻이다.
±3%p는 '95% 신뢰수준에서 참값이 이 안에 있다'는 정밀한 진술입니다. 부정확함의 고백이 아니라 정확도의 명세서예요. 두 후보가 1%p 차이라면 '접전'이라 읽는 것이 올바른 해석입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
선거 여론조사
'A 45%, B 44%, 오차범위 ±3.1%p'에서 차이 1%p는 오차범위 안이므로 통계적으로 '접전'입니다. 순위를 단정하면 오독이에요.
시청률
수천 가구의 패널로 전국 시청률을 추정합니다. 0.1%p 차이 경쟁이 가능한 것도 √n 계산 위에서예요.
공장 품질검사
전량 파괴검사는 불가능합니다. 묶음당 표본 n개로 불량률을 추정하고 관리해요.
신약 임상시험
몇천 명의 표본으로 전 인류에 대한 효과를 추정합니다. 표본 설계가 곧 과학의 품질이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
표본을 크게 모으면 선택 편향도 저절로 없어질까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
아닙니다. 표본 크기는 무작위 변동을 줄일 수 있지만, 특정 집단만 뽑는 방식의 치우침을 자동으로 고치지 않습니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 오차범위를 ±3%p에서 ±1.5%p로 절반으로 줄이려면 표본을 몇 배로 키워야 할까요?
2. 특정 시간대 전화로만 모은 100만 명과 무작위로 뽑은 1,000명, 어느 조사가 더 믿을 만할까요?
3. '오차범위 ±3%p, 95% 신뢰수준'의 올바른 뜻은?
4. 표본 1,000명 조사의 95% 오차범위는 약 몇 %p일까요? (±1/√n으로 어림)
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1오차를 절반(±3%p→±1.5%p)으로 줄이려면 표본을 몇 배로 키워야 할까요?답 보기 ▾
4배입니다(1,000→4,000명). 오차는 1/√n이므로 절반이 되려면 n이 4배 필요해요. 10배 정확하려면 100배입니다. 수확체감이에요.
Q2'오차범위 ±3%p, A 후보 47%' — 참값이 44~50% 밖일 가능성은 없는 걸까요?답 보기 ▾
범위 밖일 수 있습니다. 다만 이미 계산한 이 구간에 대해 참값이 밖에 있을 확률을 5%라고 해석하지는 않습니다. 95%는 같은 모집단에서 같은 절차를 반복해 만든 구간들이 참값을 포함하는 장기 비율을 뜻해요. 표본 설계와 모형 가정도 맞아야 합니다.
Q3우리 학교 학생 500명의 평균 키를 알고 싶습니다. 친한 농구부 30명을 재면 될까요?답 보기 ▾
안 됩니다. 크기(30)가 아니라 치우침이 문제예요. 농구부는 모집단의 축소판이 아니니까요. 무작위 30명이 농구부 300명보다 낫습니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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