P(A|B) · 조건부확률
좁아진 세계에서 다시 세는 기술, 조건부확률
문 셋 중 하나에 자동차. 당신이 고른 뒤 사회자가 염소 문 하나를 열어줬다. 바꾸는 게 유리할까?
조건에 따라 비교 대상이 달라짐을 봅니다.
새 정보 하나가 확률을 통째로 뒤집는 순간
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 우연 속에서 판단하기 · 2/3
이 질문이 왜 필요할까요?
1990년 이 문제가 잡지에 실렸을 때, 수학 박사 1,000명이 '바꿔라'라는 정답에 항의 편지를 보냈습니다. 인간의 직관이 조건부확률 앞에서 얼마나 무력한지 보여주는 사건이었어요.
핵심은 정보입니다. 사회자가 문을 여는 순간 당신은 새 정보를 얻었고, 가능한 세계의 목록이 달라졌어요. 달라진 목록에서 다시 세는 것, 그게 조건부확률의 전부입니다.
의료 검사 결과 해석, 법정의 증거 평가, 스팸 필터처럼 '무언가를 알게 된 후의 확률'을 다루는 모든 곳에서 이 사고가 판단을 좌우해요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 당신이 문을 고른 뒤, 정답을 아는 사회자가 염소 문 하나를 열어줬습니다. 바꾸는 게 유리할까요?
직접 플레이 — 문을 고르세요
바꾸기 승률
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유지 승률
-
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
조건이 주어지면 우리가 바라보는 전체 집단이 달라집니다. 조건부확률은 원래의 전체에서 아무렇게나 확률을 떼는 것이 아니라, 조건에 맞는 집단 안에서 다시 비율을 구하는 일입니다.
공정한 주사위에서 짝수라는 정보를 알았다면 남은 결과는 2, 4, 6입니다. 그 안에서 4 이상인 결과는 4와 6이므로 확률은 2/3입니다. 처음 전체 여섯 눈을 분모에 그대로 쓰면 안 됩니다.
조건은 확률을 바꾸는 게 아니라, 세는 세계를 바꾼다.
P(A|B)는 'B라는 세계 안에서 A를 다시 센 것'입니다. 분자가 아니라 분모가 바뀐다는 것이 조건부확률의 심장이에요.
몬티홀의 진짜 열쇠는 '사회자가 알고 있다'는 것이다.
사회자가 정답을 모르고 우연히 염소 문을 열었다면 확률은 정말 50:50이 됩니다. 같은 장면도 정보의 출처가 다르면 확률이 달라요. 조건부확률이 섬세한 이유입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
조건 사건의 확률이 양수인 경우의 기본 정의를 다룹니다. 확률 0인 조건에는 별도 이론이 필요합니다.
실험에서 본 '세계 좁히기'를 수식으로 쓰면 조건부확률의 정의가 됩니다.
공식 해부 — 주사위 세계 축소 실험과 짝지어 보기
= ÷
조건부확률의 정의
B가 일어났다는 조건 아래 A의 확률입니다. 분모가 전체에서 B로 줄어들어요. 좁아진 세계에서 다시 세기입니다.
몬티홀의 계산
바꾸기 전략은 '처음 선택이 틀렸을 때' 항상 이깁니다. 처음이 틀릴 확률이 2/3이므로 바꾸면 2/3로 이겨요.
독립의 의미
조건을 알아도 확률이 안 변하면 두 사건은 독립입니다. 동전 던지기의 과거가 미래를 못 바꾸는 이유(확률 실험실)가 이것이에요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
문 두 개가 남았으니 확률은 50:50이다.
처음 고른 문이 정답일 확률 1/3은 사회자가 문을 열어도 변하지 않습니다. 나머지 2/3의 확률이 남은 한 문에 몰려요. 사회자는 '정답을 알고' 염소 문만 열기 때문입니다.
확률은 한 번 정해지면 변하지 않는다.
확률은 '내가 아는 정보'에 대한 값입니다. 새 정보가 들어오면 가능한 세계가 좁아지고, 좁아진 세계에서 다시 세면 확률이 변해요. 그것이 조건부확률입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
의료 검사 해석
'검사 양성일 때 실제 병일 확률'은 조건부확률입니다. 이 값이 직관과 크게 다를 수 있다는 것이 베이즈 정리로 이어져요.
스팸 필터
'이 단어가 있을 때 스팸일 확률'. 이메일 필터의 뼈대가 조건부확률 계산입니다.
법정의 증거
'증거가 있을 때 유죄일 확률'과 '유죄일 때 증거가 있을 확률'을 혼동하는 것이 유명한 '검사의 오류'입니다.
게임과 카드
포커에서 상대의 베팅(정보)이 들어올 때마다 내 승률 계산의 분모가 달라집니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
P(A∣B)에서 분모 역할을 하는 집단은 어느 쪽인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
B가 일어난 집단입니다. 그 집단 안에서 A도 함께 일어난 부분의 비율을 봅니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 주사위를 던진 뒤 '4 이상'이라는 힌트를 들었습니다. 6이 나왔을 확률은?
2. 몬티홀 게임에서 처음 선택을 끝까지 바꾸지 않으면 이길 확률은?
3. 사회자가 정답을 모른 채 아무 문이나 열었는데 우연히 염소였습니다. 이때 바꾸면 이길 확률은?
4. 문이 100개인 몬티홀에서 하나를 고른 뒤 사회자가 염소 문 98개를 열었습니다. 바꾸면 이길 확률은 몇 %일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1주사위를 던져 '3 이상'이라는 힌트를 들었습니다. 6일 확률은?답 보기 ▾
1/4입니다. 세계가 {3,4,5,6} 넷으로 좁아졌고 그중 하나가 6이에요. 힌트 전 1/6에서 힌트 후 1/4로, 분모가 바뀌었습니다.
Q2두 자녀 중 '적어도 한 명이 딸'이라는 것을 알 때, 둘 다 딸일 확률은? (1/2가 아닙니다)답 보기 ▾
1/3입니다. 가능한 세계는 (딸,딸)(딸,아들)(아들,딸) 셋이고 그중 하나예요. '(아들,아들)'만 제거된 세계에서 다시 세는 것이 핵심입니다.
Q3몬티홀에서 문이 100개이고, 당신이 하나 고른 뒤 사회자가 염소 문 98개를 열었다면 바꿔야 할까요?답 보기 ▾
무조건 바꿔야 합니다. 바꾸면 승률 99/100이에요. 문이 많아질수록 직관이 정답('바꿔라')에 가까워지는 것이 재미있는 점입니다. 3개일 때도 같은 구조예요.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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증명 실험실
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학습 실험실
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