y=kx · 비례와 반비례
배수가 그대로면 정비례, 곱이 일정하면 반비례
1분에 2L 나오는 수도를 3배 오래 틀면, 물은 몇 배가 될까?
양이 함께 늘어나는 것과 정비례를 구분합니다.
지도 위 1cm가 실제 500m가 되는 약속
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 함께 달라지는 양 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
'2배 사면 2배 낸다', '2배 빠르면 절반 걸린다'. 생활의 계산 대부분이 이 두 문장 위에 서 있습니다. 그런데 어떤 관계가 이 규칙을 따르고 어떤 관계가 아닌지 가릴 눈이 필요했어요.
기준은 명확합니다. 배수가 그대로 전달되면 정비례(y=kx), 곱이 일정하게 유지되면 반비례(y=k/x)예요. 이 둘만 확실히 알아도 어림 계산과 단위 바꾸기가 즉시 됩니다.
그래프로 그리면 정체가 드러납니다. 정비례는 원점을 지나는 직선이고, 반비례는 축에 다가가는 곡선이에요. 관계의 모양을 보는 훈련이 함수로 가는 마지막 계단입니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 1분에 2L 나오는 수도를 3배 오래 틀면 물은?
시간을 바꿔보세요
1분에 2L씩. 시간이 2배, 3배가 될 때 물의 양을 지켜보세요.
2L
받은 물
| 튼 시간 | 1 |
| 받은 물 | 2 |
| 물 ÷ 시간 | 2 |
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
같이 늘어난다는 것과 정비례한다는 것은 다릅니다. 정비례는 비가 일정한 관계, 반비례는 곱이 일정한 관계라는 더 강한 조건입니다.
유량이 일정한 수도에서 물의 양은 시간에 정비례합니다. 일정한 60L를 채울 때 분당 유량을 두 배로 하면 시간은 절반입니다. 호스의 굵기가 아니라 실제 유량을 비교해야 합니다.
정비례의 심장은 '원점을 지난다'는 것이다.
0분이면 0L입니다. 아무것도 안 하면 아무것도 없어요. 기본요금이 있는 택시비는 함께 늘지만 정비례가 아닙니다. 0km에도 4,800원이 나오니까요. 원점을 지나는 것은 필요한 조건이지만, 그것만으로는 충분하지 않습니다. y=x²도 원점을 지나거든요. y/x가 일정한지도 확인해야 정비례라고 할 수 있습니다.
반비례는 '나눠 갖기'의 수학이다.
일정한 전체(60L, 케이크 하나, 일 전체)를 나누는 상황마다 반비례가 나타납니다. 나누는 사람이 2배면 몫은 절반이에요. 곱, 즉 전체가 일정하기 때문입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
단위와 고정된 양을 먼저 정합니다. 원점을 지나는 곡선이라고 모두 정비례하는 것은 아닙니다.
욕조 실험에서 확인한 두 관계를 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 욕조 수돗물 실험과 짝지어 보기
= ×
정비례
x가 2배, 3배가 되면 y도 정확히 2배, 3배가 됩니다. k는 '1당 얼마'(분당 2L)라는 비례상수예요. 그래프는 원점을 지나는 직선입니다.
반비례
x가 2배면 y는 절반이 됩니다. 곱이 항상 k로 일정해요. 60L 욕조에서 수량×시간 = 60입니다. 그래프는 축에 다가가는 곡선이에요.
정비례 판별법
y÷x가 늘 같은 값이면 정비례, x×y가 늘 같은 값이면 반비례입니다. 표에서 바로 검사할 수 있어요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
한쪽이 늘 때 다른 쪽도 늘면 전부 정비례다.
나이가 늘면 키도 늘지만, 2배 나이가 2배 키는 아닙니다. 정비례의 기준은 '함께 는다'가 아니라 '배수가 그대로 전달된다'예요. 2배면 정확히 2배. 훨씬 엄격한 조건입니다.
반비례는 '한쪽이 늘면 다른 쪽이 준다'는 뜻이다.
줄기만 해서는 부족합니다. 반비례의 기준은 곱이 일정하다는 것이에요(xy=k). 2배가 되면 정확히 절반이 되어야 합니다. 60L 욕조에서 (분당 수량)×(걸린 시간)은 언제나 60이에요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
장보기와 단위가격
3개에 3,600원이면 5개는? 가격은 개수에 정비례합니다. 개당 1,200원이거든요. 단위가격 실험실의 계산이 전부 정비례입니다.
속도와 시간
같은 거리를 2배 빠르게 가면 시간은 절반입니다. 거리가 일정할 때 속도와 시간은 반비례예요. 속도×시간 = 거리이기 때문입니다.
요리 레시피
2인분 레시피를 5인분으로 만들려면 모든 재료를 2.5배 합니다. 재료의 양은 인분 수에 정비례하기에 배율 하나로 끝나요.
톱니바퀴와 기어비
맞물린 두 기어의 회전수는 톱니 수에 반비례합니다. 톱니가 절반이면 2배 돌아요. 자전거 기어비의 수학입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
y=x²도 원점을 지나는데 정비례인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
아닙니다. x를 두 배로 하면 y는 네 배가 됩니다. 원점을 지나는 직선이라는 조건과 단순한 원점 통과를 구분합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 나이가 들수록 키도 자랍니다. 나이와 키는 정비례일까요?
2. 택시비는 y = 800x + 4,800(x는 거리)으로 거리가 늘면 요금도 늡니다. 정비례일까요?
3. 60L 욕조를 채울 때 분당 수량을 2배로 하면 걸리는 시간은?
4. 귤 6개에 3,000원입니다. 같은 귤 8개는 얼마일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1귤 4개에 2,000원. 10개는 얼마일까요?답 보기 ▾
개당 500원(비례상수 k)이므로 10개는 5,000원입니다. 정비례에서는 '1당 얼마'를 먼저 구하면 어떤 양도 즉시 계산돼요.
Q26명이 하면 4시간 걸리는 일, 8명이 하면? (모두 같은 속도로 일한다고 가정)답 보기 ▾
사람 수 × 시간 = 일의 양 = 24로 일정합니다(반비례). 8명이면 24÷8 = 3시간이에요.
Q3택시비는 거리가 늘면 늘어납니다. 정비례일까요?답 보기 ▾
아닙니다. 기본요금 때문에 0km에서도 4,800원이라 원점을 지나지 않아요(y=800x+4,800). 2배 거리에 2배 요금이 아니거든요. '함께 는다'와 '정비례'는 다릅니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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