max · 최적화
가장 좋은 지점은 기울기가 0인 곳에 숨는다, 최적화
울타리 20m로 직사각형 밭을 만든다. 어떤 모양이 가장 넓을까?
소가죽 한 장으로 최대의 땅을 두른, 디도 여왕의 이야기
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
최대 이익, 최소 비용, 최단 시간, 최소 재료처럼 인생과 산업의 질문 대부분이 '가장 좋은 지점 찾기'입니다. 하나하나 다 해볼 수는 없으니 체계적인 방법이 필요했어요.
열쇠는 꼭대기의 성질입니다. 산 정상에서는 어느 쪽으로도 오르막이 아니에요. 즉 기울기가 0입니다. 그렇다면 기울기(미분)가 0이 되는 지점만 조사하면 후보가 전부 나와요.
이 발상이 미분을 변화율 계산기에서 최적 지점 탐지기로 승격시켰습니다. 물류 경로, 비행기 날개 설계, AI 학습(손실 최소화)까지, 현대의 최적화는 전부 이 원리의 확장이에요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 울타리 20m로 직사각형 밭을 만듭니다. 어떤 모양이 가장 넓을까요?
가로 길이를 바꿔보세요
가로 w를 정하면 세로는 (10−w)로 자동으로 정해집니다. 둘레는 늘 20m.
16
넓이 · 2 × 8
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
최적화에서는 무엇을 좋다고 볼지를 먼저 수식으로 정합니다. 가장 큰 값이나 작은 값이라는 말은 목적함수와 허용된 선택 범위가 함께 있어야 의미가 생깁니다.
둘레가 20인 직사각형이면 가로 x와 세로 10−x를 곱해 넓이 x(10−x)를 만듭니다. 이때 0<x<10이라는 범위도 함께 필요합니다. 식만 미분하고 허용 범위를 잊으면 다른 문제를 풀게 됩니다.
정상에서는 어느 방향도 오르막이 아니다.
너무 당연해 보이는 이 관찰이 최적화 이론 전체의 주춧돌입니다. '최고점 찾기'가 '기울기 0인 방정식 풀기'로 바뀌는 순간, 탐색이 계산이 돼요.
자연은 이미 최적화를 풀고 있다.
비눗방울은 표면적을 최소로 만들어 둥근 공이 되고, 빛은 최단 시간 경로로 꺾입니다(페르마의 원리). 벌집의 육각형도 재료 최소화의 답이에요. 최적화는 자연의 언어입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
지역적인 최적과 전체 최적을 구별합니다. 경계점, 비미분점, 제약조건도 검사 대상입니다.
울타리 실험에서 발견한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 울타리 20m 실험과 짝지어 보기
= =
울타리 문제의 함수
가로 w를 정하면 세로는 10−w로 따라옵니다. 넓이는 w의 함수예요. 최적화의 첫걸음은 목표를 함수로 쓰기입니다.
최적점의 조건
꼭대기(바닥)에서는 접선이 수평이라 기울기가 0입니다. A'(w) = 10−2w = 0에서 w = 5, 정사각형이 답이에요.
최대 판정
오르막이었다가 내리막으로 바뀌는 지점이 최대입니다. 부호 변화까지 봐야 최대, 최소가 구별돼요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
기울기가 0이면 무조건 최대점이다.
최소점일 수도, 잠시 평평한 곳일 수도 있습니다. 기울기 0은 후보를 알려줄 뿐이에요. 후보 주변에서 기울기의 부호가 +에서 −로 바뀌어야 최대입니다.
더 넓게 만들려면 한 변을 최대한 길게 하면 된다.
둘레가 고정이면 한 변을 늘린 만큼 다른 변이 줄어듭니다. 9×1=9는 5×5=25의 절반도 안 돼요. 극단이 아니라 균형점이 최적인 문제가 세상엔 훨씬 많습니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
가격 책정
가격을 올리면 개당 이익은 늘지만 판매량이 줄어듭니다. 수익 = 가격 × 판매량의 꼭대기를 찾는 것이에요. 항공권과 호텔의 가격 조정이 이 계산입니다.
물류와 경로
배송 차량의 경로, 물류센터의 위치는 비용 함수를 세우고 최소점을 찾습니다. 최적화 알고리즘이 매일 수억 건의 배송을 설계해요.
AI 학습
AI 학습은 손실 함수의 최소점 찾기입니다. 차원이 수백만 개라 방정식으로는 못 풀고, 기울기를 따라 내려가요. 경사하강법입니다.
자연의 최적화
비눗방울(표면적 최소), 빛의 굴절(시간 최소), 벌집의 육각형(재료 최소)처럼 자연법칙 다수가 '무언가를 최소화하라'로 쓰입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
미분값이 0인 곳은 반드시 최댓값이나 최솟값인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
아닙니다. x³의 0처럼 극값이 아닌 점도 있습니다. 후보를 찾은 뒤 성질과 경계를 확인해야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 울타리 20m로 만들 수 있는 가장 넓은 직사각형 밭의 넓이는 몇 m²일까요?
2. 기울기가 0인 지점을 찾았습니다. 무조건 최대점일까요?
3. 가격 5,000원에 50개 팔리고, 1,000원 올릴 때마다 5개씩 덜 팔립니다. 수익이 최대가 되는 가격은?
4. f(x) = x²에서 기울기가 0인 x = 0은 어떤 점일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1둘레 40m 울타리로 만들 수 있는 최대 직사각형 넓이는?답 보기 ▾
가로+세로 = 20이므로 A(w) = w(20−w)입니다. A'(w) = 20−2w = 0에서 w = 10이에요. 10×10 정사각형, 100m²입니다. 둘레가 정해진 직사각형의 답은 언제나 정사각형이에요.
Q2f(x) = x²의 기울기가 0인 지점은 최대일까요, 최소일까요?답 보기 ▾
x=0에서 f'=0인데, 기울기가 −에서 +로 바뀝니다(내리막에서 오르막). 최소점이에요. 기울기 0은 후보일 뿐, 부호 변화가 판정합니다.
Q3가격 5,000원에 판매량 50개, 가격을 1,000원 올릴 때마다 5개씩 덜 팔린다면 수익 최대 가격은?답 보기 ▾
수익 R(p) = p × (50 − 5(p−5)) = p(75−5p)입니다(p는 천원 단위). R' = 75−10p = 0에서 p = 7.5, 즉 7,500원이 최적이에요. 올릴수록 좋은 게 아니라 균형점이 있습니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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