PROOF 136
증명하라.
도함수의 부호가 증가와 감소를 정한다
닫힌 구간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
구간 I 의 x₁ < x₂ 인 모든 두 점에서 f(x₁) < f(x₂) 일 때 f 는 I 에서 증가한다고 하고, f(x₂) < f(x₁) 일 때 감소한다고 한다.
증명.
증가와 감소는 두 점 사이의 관계다. 한 점에서 정해지는 성질이 아니다.약속
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정리 T1
f 가 [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하며 (a, b) 의 모든 x 에서 f′(x) > 0 이면 f 는 [a, b] 에서 증가한다.
증명.
(1)a ≤ x₁ < x₂ ≤ b 인 두 점을 잡는다. f 는 [x₁, x₂] 에서 연속이고 (x₁, x₂) 에서 미분가능하다.가정, 약속
(2)평균값 정리에 의해 f(x₂) − f(x₁) = f′(c)(x₂ − x₁) 인 c ∈ (x₁, x₂) 가 있다.(1), A1
(3)c 는 (a, b) 의 점이므로 f′(c) > 0 이다.(1), (2), 가정
(4)x₁ < x₂ 이므로 0 < x₂ − x₁ 이다.(1), A6
(5)두 양수의 곱은 양수이므로 0 < f′(c)(x₂ − x₁) = f(x₂) − f(x₁)(2), (3), (4), A5
(6)그러므로 f(x₁) < f(x₂) 이고, f 는 [a, b] 에서 증가한다.(5), A6, D1
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정리 T2
같은 가정에서 (a, b) 의 모든 x 에서 f′(x) < 0 이면 f 는 [a, b] 에서 감소한다.
증명.
(1)a ≤ x₁ < x₂ ≤ b 를 잡으면 평균값 정리에 의해 f(x₂) − f(x₁) = f′(c)(x₂ − x₁) 인 c ∈ (x₁, x₂) 가 있다.가정, A1
(2)f′(c) < 0 이므로 0 < −f′(c) 이고, x₁ < x₂ 이므로 0 < x₂ − x₁ 이다.(1), 가정, A6, A18, A19
(3)그러므로 0 < (−f′(c))(x₂ − x₁) = −[f′(c)(x₂ − x₁)](2), A5, A11
(4)따라서 f(x₂) − f(x₁) < 0 이고 f(x₂) < f(x₁) 이다.(1), (3), A6, A17, A18, A19
(5)그러므로 f 는 [a, b] 에서 감소한다.(4), D1
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따름정리 C1
f 가 [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 의 모든 x 에서 f′(x) = 0 이면 f 는 [a, b] 에서 상수다.
증명.
(1)a ≤ x₁ < x₂ ≤ b 를 잡으면 f(x₂) − f(x₁) = f′(c)(x₂ − x₁) 인 c ∈ (x₁, x₂) 가 있다.가정, A1
(2)f′(c) = 0 이므로 f(x₂) − f(x₁) = 0 · (x₂ − x₁) = 0(1), 가정, A14, A15
(3)그러므로 f(x₂) = f(x₁) 이고, 두 점을 어떻게 잡아도 값이 같다.(2), E, A17, A18, A19
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따름정리 C2
T1 의 역은 성립하지 않는다. f(x) = x³ 은 ℝ 에서 증가하지만 f′(0) = 0 이다.
증명.
(1)f′(x) = 3x² 이고 f′(0) = 3 · (0 · 0) = 0 이다.A2, A15
(2)x₁ < x₂ 이면 x₂³ − x₁³ = (x₂ − x₁)(x₂² + x₂x₁ + x₁²) 이다.A3
(3)S = x₂² + x₂x₁ + x₁² 로 두면 4S = (2x₂ + x₁)² + 3x₁² 이다.(2), A4, A12, A13, A14, A16, A17
(4)x₁ ≠ 0 인 경우: 0 < 3x₁² 이고 0 ≤ (2x₂ + x₁)² 이므로 0 < 4S 이고, 따라서 0 < S 이다.(3), A8, A10, A7, A9
(5)x₁ = 0 인 경우: x₁ < x₂ 이므로 x₂ ≠ 0 이고 S = x₂² > 0 이다.(3), A15, A19, A8
(6)어느 경우에도 0 < S 이고 0 < x₂ − x₁ 이므로 0 < (x₂ − x₁)S = x₂³ − x₁³(2), (4), (5), A6, A5
(7)그러므로 x₁³ < x₂³ 이고, f 는 ℝ 에서 증가한다.(6), A6, D1
(8)증가하는 함수의 도함수가 모든 점에서 양수일 필요는 없다.(1), (7)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
f′(c) 는 한 점의 값이고 f(x₁) < f(x₂) 는 두 점의 관계다. 그 사이를 잇는 등식이 어느 줄에 있는지 확인하라.