PROOF 139
증명하라.
이계도함수가 볼록성을 정한다
닫힌 구간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
구간 I 의 a < b 와 a < x < b 인 모든 x 에서 f(x) < f(a) + [f(b) − f(a)](b − a)⁻¹ (x − a) 일 때 f 는 I 에서 아래로 볼록이라 한다.
증명.
오른쪽 식은 두 점 (a, f(a)) 와 (b, f(b)) 를 잇는 직선의 값, 곧 현의 값이다. 볼록은 그래프와 현의 대소로 정의된다.약속
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정의 D2
f′ 이 구간 I 에서 미분가능할 때 그 도함수를 f″ 라 쓰고 이계도함수라 한다.
증명.
f″ 은 f 의 도함수가 아니라 f′ 의 도함수다.약속
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정리 T1
f′ 이 구간 I 에서 미분가능하고 I 에서 f″ > 0 이면 f′ 은 I 에서 증가한다.
증명.
(1)f″ 은 f′ 의 도함수다.D2
(2)f′ 의 도함수가 I 에서 양수이므로 f′ 은 I 에서 증가한다.(1), 가정, A2
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정리 T2
f 가 [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하며 f′ 이 (a, b) 에서 증가하면 f 는 [a, b] 에서 아래로 볼록이다.
증명.
(1)a < x < b 를 잡는다. f 는 [a, x] 와 [x, b] 에서 연속이고 각 열린 구간에서 미분가능하다.가정, 약속
(2)평균값 정리에 의해 f(x) − f(a) = f′(p)(x − a) 인 p ∈ (a, x) 가 있다.(1), A1
(3)평균값 정리에 의해 f(b) − f(x) = f′(q)(b − x) 인 q ∈ (x, b) 가 있다.(1), A1
(4)p < x < q 이고 f′ 은 증가하므로 f′(p) < f′(q) 이다.(2), (3), 가정
(5)0 < x − a 이고 0 < b − x 이므로 0 < (x − a)(b − x) 이다.(1), A6, A8
(6)(4) 의 양변에 (x − a)(b − x) 를 곱하고 (2)(3) 을 넣으면 [f(x) − f(a)](b − x) < [f(b) − f(x)](x − a)(2), (3), (4), (5), A5, A12, A13, E
(7)양변에 (x − a)f(x) + (b − x)f(a) 를 더하고 (b − x) + (x − a) = b − a 를 쓰면 (b − a)f(x) < (b − x)f(a) + (x − a)f(b)(6), A9, A11, A13, A17, A18, A19, A20
(8)0 < b − a 이므로 0 < (b − a)⁻¹ 이고, 양변에 그것을 곱하면 f(x) < [(b − x)f(a) + (x − a)f(b)](b − a)⁻¹(7), A6, A7, A5, A12, A13, A14, A15
(9)오른쪽은 f(a) + [f(b) − f(a)](b − a)⁻¹(x − a) 와 같다.A11, A12, A13, A14, A15, A17, A18, A19, A20
(10)그러므로 f 는 현 아래에 있고, [a, b] 에서 아래로 볼록이다.(8), (9), D1
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정리 T3
f 가 [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 두 번 미분가능하며 (a, b) 에서 f″ > 0 이면 f 는 [a, b] 에서 아래로 볼록이다.
증명.
(1)f″ > 0 이므로 f′ 은 (a, b) 에서 증가한다.가정, T1
(2)f′ 이 증가하므로 f 는 현 아래에 있다.(1), T2
(3)사슬은 f″ > 0 ⟹ f′ 증가 ⟹ 볼록 의 두 마디다. 가운데 마디를 지나지 않는 길은 없다.(1), (2)
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따름정리 C
T3 의 역은 성립하지 않는다. f(x) = x⁴ 는 아래로 볼록이지만 f″(0) = 0 이다.
증명.
(1)f′(x) = 4x³ 이고 f″(x) = 12x² 이므로 f″(0) = 12 · (0 · 0) = 0 이다.A4, D2, A16
(2)x₁ < x₂ 이면 x₁³ < x₂³ 이고, 0 < 4 이므로 4x₁³ < 4x₂³ 이다.A3, A10, A5
(3)그러므로 f′ 은 ℝ 에서 증가한다.(2)
(4)f′ 이 증가하므로 f 는 아래로 볼록이다.(3), T2
(5)그러므로 아래로 볼록인 함수의 이계도함수가 모든 점에서 양수일 필요는 없다.(1), (4)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
사슬은 두 마디다. f″ 의 부호에서 f′ 의 증가로 가는 마디와, f′ 의 증가에서 현 아래로 가는 마디다. 어느 마디가 A2 를 쓰는지 확인하라.