정의 D1
f 가 c 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(c+h) − f(c)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(c) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을 뜻한다. 차분몫은 h ≠ 0 에서만 정의된다.약속
(2)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(c) 라는 표기가 정당하다.A4
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정의 D2
c 를 품은 열린 구간 I 에서, 어떤 δ > 0 이 있어 |h| < δ 이고 c + h ∈ I 인 모든 h 에서 f(c+h) ≤ f(c) 일 때 c 를 f 의 극대점이라 한다. 부등호를 뒤집으면 극소점이라 한다.
증명.
극대는 c 의 가까운 곳에서만 요구된다. 구간 전체의 최댓값일 필요는 없다.약속
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보조정리 L1
c 가 열린 구간 I 의 점이고 f 가 c 에서 미분가능하며 c 가 f 의 극대점이면 f′(c) ≤ 0 이다.
증명.
(1)극대점의 뜻에 의해 |h| < δ 인 모든 h 에서 f(c+h) ≤ f(c) 이고, 따라서 f(c+h) − f(c) ≤ 0 이다.가정, D2, A8
(2)f 는 c 에서 미분가능하므로 차분몫의 극한이 존재하고, 그 우극한도 f′(c) 다.가정, D1, A3
(3)0 < h < δ 이면 분자는 0 이하이고 분모는 양수이므로 [f(c+h) − f(c)]/h ≤ 0(1), A5
(4)h → 0+ 에서 (3) 의 양변의 극한을 취하면 f′(c) ≤ 0(2), (3), A1, A2
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보조정리 L2
같은 가정에서 f′(c) ≥ 0 이다.
증명.
(1)−δ < h < 0 인 h 에서도 |h| < δ 이므로 f(c+h) − f(c) ≤ 0 이다.가정, D2, A8
(2)f 는 c 에서 미분가능하므로 차분몫의 좌극한도 f′(c) 다.가정, D1, A3
(3)h < 0 이면 분자는 0 이하이고 분모는 음수이므로 [f(c+h) − f(c)]/h ≥ 0(1), A6
(4)h → 0− 에서 (3) 의 양변의 극한을 취하면 f′(c) ≥ 0(2), (3), A1, A2
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정리 T1
c 가 열린 구간 I 의 점이고 f 가 c 에서 미분가능하며 c 가 f 의 극대점 또는 극소점이면 f′(c) = 0 이다.
증명.
(1)f 는 c 에서 미분가능하므로 차분몫의 좌극한과 우극한은 같은 하나의 수 f′(c) 다.가정, D1, A3, A4
(2)c 가 극대점이라 하자. L1 에 의해 f′(c) ≤ 0 이다.가정, L1
(3)L2 에 의해 f′(c) ≥ 0 이다.가정, L2
(4)(2) 와 (3) 은 (1) 의 같은 수 하나에 대한 부등호이므로 f′(c) = 0 이다.(1), (2), (3), A7
(5)c 가 극소점이면 D2 의 부등호가 뒤집히고, L1 · L2 의 (1)(3)(4) 의 부등호도 모두 뒤집혀 f′(c) ≥ 0 과 f′(c) ≤ 0 을 얻는다. 결론은 같다.D2, A8, A5, A6, A1, A7
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따름정리 C1
내부의 점이라는 가정은 뺄 수 없다. f(x) = x 를 [0, 1] 에서 보면 f 는 1 에서 최댓값을 가지지만 f′(1) = 1 이다.
증명.
(1)0 ≤ x ≤ 1 이면 f(x) = x ≤ 1 = f(1) 이므로 1 에서 f 는 [0, 1] 위의 최댓값을 가진다.약속
(2)h < 0 이고 1 + h ∈ [0, 1] 이면 [f(1+h) − f(1)]/h = h · h⁻¹ = 1(1), A15, A16, A17, A10
(3)차분몫이 상수 1 이므로 그 좌극한은 1 이다.(2), A2, D1
(4)1 ≠ 0 이므로 결론이 성립하지 않는다. 1 은 [0, 1] 의 내부의 점이 아니기 때문이다.(3), A19
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따름정리 C2
미분가능이라는 가정도 뺄 수 없다. g(x) = −|x| 는 0 에서 극대점을 가지지만 0 에서 미분가능하지 않다.
증명.
(1)|t| 는 t ≥ 0 이면 t, t < 0 이면 −t 를 뜻한다. 모든 t 에서 0 ≤ |t| 이므로 g(t) ≤ 0 = g(0) 이다.약속, A18, A8
(2)그러므로 0 은 g 의 극대점이다.(1), D2
(3)h > 0 이면 [g(0+h) − g(0)]/h = (−h) · h⁻¹ = (−1)(h · h⁻¹) = −1(1), A15, A17, A11, A13, A10, A14
(4)h < 0 이면 |h| = −h 이므로 g(h) = −(−h) = h 이고 [g(0+h) − g(0)]/h = h · h⁻¹ = 1(1), A12, A15, A17, A10
(5)그러므로 우미분계수는 −1, 좌미분계수는 1 이고 1 ≠ −1 이다.(3), (4), A2, A20
(6)그러므로 g 는 0 에서 미분가능하지 않다.(5), A9
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