PROOF 138
증명하라.
도함수가 0이어도 극값이 아닐 수 있다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
c 를 품은 열린 구간에서, 어떤 δ > 0 이 있어 |h| < δ 인 모든 h 에서 f(c+h) ≤ f(c) 일 때 c 를 f 의 극대점이라 한다. 부등호를 뒤집으면 극소점이라 한다.
증명.
극대점도 극소점도 아니라는 것은 δ 를 아무리 작게 잡아도 양쪽 부등호가 모두 깨진다는 것이다.약속
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정리 T1
f(x) = x³ 은 f′(0) = 0 이지만 0 은 f 의 극대점도 극소점도 아니다.
증명.
(1)f′(x) = 3x² 이고 f′(0) = 3 · (0 · 0) = 0 이다.A2, A9
(2)0 < x 이면 0 < x · x 이고, 다시 0 < (x · x) · x = x³ 이다.A1, A11
(3)(−x)(−x) = −((−x)x) = −(−(x · x)) = x · x 이고, (x · x)(−x) = −(x · x · x) 이다.A6, A7, A10, A11
(4)그러므로 (−x)³ = −(x³) 이다.(3), A11
(5)x < 0 이면 0 < −x 이므로 (2) 에 의해 0 < (−x)³ = −(x³) 이고, 따라서 x³ < 0 이다.(2), (4), A4, A12, A13
(6)δ > 0 을 아무리 작게 잡아도 0 < δ/2 < δ 이므로, |h| < δ 인 h 중에 δ/2 와 −δ/2 가 있다.A5, A4
(7)h = δ/2 에서 f(0+h) = h³ > 0 = f(0) 이므로 f(0+h) ≤ f(0) 이 깨진다. 0 은 극대점이 아니다.(2), (6), A8, A12, A13, A9, D1
(8)h = −δ/2 에서 f(0+h) = h³ < 0 = f(0) 이므로 f(0) ≤ f(0+h) 가 깨진다. 0 은 극소점이 아니다.(5), (6), A8, A12, A13, A9, D1
(9)그러므로 f′(0) = 0 은 극값의 충분조건이 아니다.(1), (7), (8)
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따름정리 C
f 가 c 를 품은 열린 구간에서 연속이고 c 를 뺀 곳에서 미분가능하며, c 의 왼쪽에서 f′ > 0 이고 오른쪽에서 f′ < 0 이면 c 는 f 의 극대점이다.
증명.
(1)δ > 0 을 잡아 (c−δ, c+δ) 에서 가정이 성립하게 한다.가정
(2)[c−δ, c] 에서 f′ > 0 이므로 f 는 그 구간에서 증가하고, c−δ ≤ x < c 이면 f(x) < f(c) 이다.(1), A3
(3)[c, c+δ] 에서 f′ < 0 이므로 f 는 그 구간에서 감소하고, c < x ≤ c+δ 이면 f(x) < f(c) 이다.(1), A3
(4)그러므로 |h| < δ 인 모든 h 에서 f(c+h) ≤ f(c) 이고, c 는 극대점이다.(2), (3), D1
(5)f(x) = x³ 은 이 가정을 만족하지 않는다. T1 에 의해 0 의 왼쪽에서 f(x) < f(0) 이고 오른쪽에서 f(0) < f(x) 이므로, (2) 와 (3) 이 함께 성립할 수 없기 때문이다.T1, (2), (3)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
T1 은 0 의 양쪽에서 x³ 의 부호를 따진다. 양수를 세 번 곱한 것이 양수라고 말해 주는 것이 무엇인지 확인하라.