PROOF 44
증명하라.
평균값 정리
닫힌 구간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
f 가 x 에서 미분가능하다는 것은 극한 lim (h→0) [f(x+h) − f(x)]/h 가 존재한다는 것이며, 그 값을 f′(x) 로 쓴다.
증명.
(1)a − b 는 a + (−b) 를, F/h 는 F · h⁻¹ 을 뜻한다. 차분몫은 h ≠ 0 에서만 정의된다.약속
(2)극한이 존재하면 그 값은 유일하다. 그러므로 f′(x) 라는 표기가 정당하다.A5
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보조정리 L1
c 가 열린 구간 I 의 점이고 f 가 c 에서 미분가능하며 f(c) 가 I 위에서 f 의 최댓값 또는 최솟값이면 f′(c) = 0 이다.
증명.
(1)먼저 f(c) 가 최댓값이라 하자. I 는 열린 구간이므로 |h| 가 작으면 c + h ∈ I 이고 f(c+h) − f(c) ≤ 0 이다.가정, 약속
(2)f 는 c 에서 미분가능하므로 차분몫의 극한이 존재하고, 좌극한과 우극한이 모두 f′(c) 이다.가정, D1, A4
(3)h > 0 이면 [f(c+h) − f(c)]/h ≤ 0 이다.(1), A6
(4)h → 0+ 의 극한을 취하면 f′(c) ≤ 0(2), (3), A2, A3
(5)h < 0 이면 [f(c+h) − f(c)]/h ≥ 0 이다.(1), A7
(6)h → 0− 의 극한을 취하면 f′(c) ≥ 0(2), (5), A2, A3
(7)그러므로 f′(c) = 0 이다.(4), (6), A8
(8)f(c) 가 최솟값이면 (1) 의 부등호가 뒤집히고 (3)~(6) 의 부등호도 모두 뒤집혀 같은 결론에 이른다.(1), A6, A7, A2, A8
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보조정리 L2
f 가 [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하며 f(a) = f(b) 이면 f′(c) = 0 인 c ∈ (a, b) 가 존재한다.
증명.
(1)f 는 닫힌 구간 [a, b] 에서 연속이므로 최댓값 M 과 최솟값 m 을 가진다.가정, A1
(2)M = m 인 경우: 모든 x 에서 m ≤ f(x) ≤ M 이므로 f 는 상수이고, c ∈ (a, b) 에서 차분몫은 0 · h⁻¹ = 0 이므로 f′(c) = 0 이다.(1), A8, A18, A16, A13, A3, D1
(3)M ≠ m 인 경우: f(a) = f(b) 이므로 M 과 m 중 적어도 하나는 f(a) 와 다르다.(1), 가정
(4)그 값을 가지는 점은 a 도 b 도 아니므로 (a, b) 의 점이다. 그 점을 c 라 한다.(3), 가정
(5)c 는 열린 구간의 점이고 f 는 c 에서 미분가능하며 f(c) 는 최댓값 또는 최솟값이다.(4), 가정
(6)그러므로 f′(c) = 0 이다.(5), L1
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정리 T1
a < b 이고 f 가 [a, b] 에서 연속, (a, b) 에서 미분가능하면 f′(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a) 인 c ∈ (a, b) 가 존재한다.
증명.
(1)a < b 이므로 b − a ≠ 0 이고, k = [f(b) − f(a)] · (b − a)⁻¹ 로 둘 수 있다.가정, A9
(2)φ(x) = f(x) − [f(a) + k(x − a)] 로 둔다. φ 는 [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하다.(1), 가정, A11, A12, A10
(3)φ(a) = f(a) − [f(a) + k · 0] = 0 이다.(2), A13, A18, A19
(4)k(b − a) = f(b) − f(a) 이므로 φ(b) = f(b) − [f(a) + (f(b) − f(a))] = 0 이다.(1), (2), A14, A15, A16, A17, A18, A19
(5)그러므로 φ(a) = φ(b) 이다.(3), (4)
(6)롤 정리에 의해 φ′(c) = 0 인 c ∈ (a, b) 가 존재한다.(2), (5), L2
(7)φ′(x) = f′(x) − k(2), A10, A11
(8)그러므로 f′(c) = k = [f(b) − f(a)] / (b − a) 이다.(1), (6), (7), E, A18, A19
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
L1 은 극값이 있다고 가정하고 시작한다. 그 극값이 실제로 존재한다고 말해 주는 것이 어디에 있는지 확인하라.