v⃗ · 벡터
크기와 방향을 한 몸에 담은 수, 벡터
'여기서 300m 가면 보물이 있다.' 이 지도로 보물을 찾을 수 있을까?
같은 길이와 같은 벡터를 구분합니다.
바람 부는 날, 비행기가 목적지를 비껴 겨냥하는 이유
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 여러 수를 함께 다루기 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
온도, 무게, 가격은 숫자 하나면 충분합니다. 그런데 바람, 속도, 힘은 '얼마나'만으로는 반쪽짜리 정보예요. '어느 쪽으로'가 빠지면 비행기는 엉뚱한 곳에 착륙합니다.
크기와 방향을 한 덩어리로 다루는 수가 필요했습니다. 화살표가 그 답이에요. 길이가 크기, 가리키는 쪽이 방향입니다. 좌표로는 (x, y) 성분 쌍으로 적어요.
화살표끼리 더하고(이동의 연결), 늘리고(스칼라배), 크기를 재는(피타고라스) 규칙이 갖춰지자, 물리학과 게임과 AI가 모두 이 언어로 세계를 기술하기 시작했습니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 보물 지도에 ‘여기서 300m’라고만 적혀 있습니다. 보물을 찾을 수 있을까요?
방향 명령으로 보물까지 가세요
출발점 🧭에서 보물 💎까지. 버튼 하나가 한 칸 이동입니다.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
벡터는 크기와 방향을 함께 표현합니다. 좌표로 쓰면 여러 성분을 가진 수처럼 보이지만, 어떤 기준축을 사용했는지와 어떤 연산을 뜻하는지 함께 읽어야 합니다.
(2,1)에 (−1,3)을 더하면 (1,4)입니다. 첫 이동 끝에서 다음 이동을 이어 붙인 전체 이동과 같습니다. 처음 위치보다 어떻게 이동했는지가 벡터의 역할입니다.
벡터는 '움직임 그 자체'를 수로 만든 것이다.
위치가 아니라 이동입니다. 출발점이 어디든 '동쪽 3, 북쪽 4'라는 이동은 같은 화살표예요. 출발점에서 화살표를 떼어낸 것이 벡터의 핵심 발상입니다.
게임 캐릭터는 매 프레임 벡터를 더하며 움직인다.
위치 + 속도×시간입니다. 조이스틱 입력도, 중력도, 밀려남도 전부 벡터 덧셈이에요. 물리 엔진은 화살표 계산기입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
점의 위치와 이동 벡터를 구분합니다. 내적은 수, 벡터 덧셈은 벡터를 만드는 서로 다른 연산입니다.
보물찾기와 이어붙이기에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 보물찾기 화살표와 짝지어 보기
= √( + )
벡터의 표기
가로 이동 x, 세로 이동 y의 쌍입니다. 화살표 하나를 숫자 두 개로 완전히 기록해요.
벡터의 크기
화살표의 길이입니다. 피타고라스 정리가 여기서 다시 일해요. (3,4)의 크기는 5입니다.
벡터 덧셈
이동을 이어붙이면 성분끼리 더해집니다. 그림으로는 화살표의 꼬리를 머리에 잇는 것이에요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
(3, 4) 화살표의 크기는 3+4=7이다.
화살표의 길이는 피타고라스로 잽니다. √(3²+4²) = 5예요. 성분은 좌표의 언어이고, 크기는 기하의 언어입니다. 둘을 잇는 다리가 √(x²+y²)이에요.
벡터 덧셈은 그냥 숫자 계산 규칙이다.
화살표를 이어붙이는 행위 자체입니다. '동쪽으로 2, 북쪽으로 1' 다음 '동쪽으로 1, 북쪽으로 3'을 가면 결국 '동쪽으로 3, 북쪽으로 4'예요. 성분별 덧셈은 이 당연한 사실의 기록일 뿐입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
게임의 이동과 물리 엔진
캐릭터 위치는 매 프레임 '위치 벡터 + 속도 벡터'로 새로 계산됩니다. 점프의 포물선은 속도 벡터에 중력 벡터를 매 프레임 더한 결과예요.
비행기의 바람 보정
기수 방향 벡터 + 바람 벡터 = 실제 진로입니다. 조종사는 목적지 방향이 아니라 바람을 상쇄하는 방향으로 기수를 돌려요.
힘의 합성 (건축·역학)
다리의 케이블 장력, 건물에 걸리는 하중처럼 여러 힘 벡터의 합이 0이 되도록 설계하는 것이 구조 설계의 기본입니다.
AI의 임베딩
챗봇은 단어를 수백 차원 벡터로 바꿔 다룹니다. '왕 − 남자 + 여자 ≈ 여왕'처럼 의미의 연산이 벡터 덧셈으로 구현돼요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
같은 이동을 다른 곳에서 시작하면 벡터도 달라지나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
자유벡터로 다룬다면 크기와 방향이 같으므로 같은 벡터입니다. 시작점 자체와는 구별됩니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 벡터 (6, 8)의 크기는 얼마일까요?
2. 북쪽으로 3 간 다음 남쪽으로 3 갔습니다. 두 이동을 더한 벡터는?
3. (2, 1)만큼 이동한 뒤 (1, 3)만큼 더 이동했습니다. 처음부터의 이동을 한 화살표로 쓰면?
4. 벡터 (3, 4)에 −1을 곱하면 어떻게 될까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1(5, 12) 벡터의 크기는 얼마일까요?답 보기 ▾
√(5²+12²) = √169 = 13입니다. 성분의 합(17)이 아니라 피타고라스예요. 화살표의 길이는 언제나 빗변이니까요.
Q2동쪽으로 4 간 다음 서쪽으로 4 갔습니다. 두 이동의 합 벡터는?답 보기 ▾
(4,0) + (−4,0) = (0,0)으로 영벡터입니다. 8만큼 걸었지만(이동 거리) 위치 변화는 0이에요. '얼마나 걸었나'와 '어디로 갔나'는 다른 질문입니다.
Q3속도 (2, 3)인 캐릭터를 2배 빠르게 하면 속도 벡터는?답 보기 ▾
2×(2,3) = (4,6)입니다. 각 성분을 2배 하는 스칼라배예요. 방향은 그대로, 크기만 2배가 됩니다. 음수를 곱하면 방향이 반대로 뒤집혀요.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
이 글이 있는 읽기 길: 여러 수를 함께 다루기 · 3/3
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
이전 개념
다음 개념으로 연결
관련 실험실
관련 실험실