PROOF 157
증명하라.
내적이 0이면 수직이다
평면 벡터 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
0 = (0, 0) 을 영벡터라 한다. a ≠ 0, b ≠ 0 이고 두 벡터가 이루는 각이 90° 일 때 a ⊥ b 라 쓰고, 두 벡터가 수직이라 한다.
증명.
(1)두 벡터가 이루는 각 θ 는 원점에서 그은 두 반직선이 이루는 각이며 0° ≤ θ ≤ 180° 이다.약속
(2)영벡터는 반직선을 정하지 못하므로 θ 는 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때만 정해진다. 수직도 그때만 뜻을 가진다.(1), 약속
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보조정리 L1
a ≠ 0, b ≠ 0 이고 θ = 90° 이면 a·b = 0
증명.
(1)θ = 90° 이므로 cos θ = 0가정, A4
(2)a·b = |a||b| cos θ = (|a||b|) × 0 = 0(1), A1, A9, A6, E
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보조정리 L2
a ≠ 0, b ≠ 0 이고 a·b = 0 이면 θ = 90°
증명.
(1)|a| > 0 이고 |b| > 0 이므로 |a| ≠ 0, |b| ≠ 0가정, A3, A8
(2)0 = a·b = |a||b| cos θ = |a| (|b| cos θ)가정, A1, A9, E
(3)|a| ≠ 0 이므로 |b| cos θ = 0(1), (2), A5
(4)|b| ≠ 0 이므로 cos θ = 0(1), (3), A5
(5)0° ≤ θ ≤ 180° 이므로 θ = 90°(4), A4, D1
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정리 T
a ≠ 0, b ≠ 0 일 때, a·b = 0 인 것과 a ⊥ b 인 것은 같다.
증명.
(1)a ⊥ b 는 θ = 90° 를 뜻한다.D1
(2)θ = 90° 이면 a·b = 0L1
(3)a·b = 0 이면 θ = 90°L2
(4)두 방향이 모두 성립하므로 a·b = 0 ⟺ a ⊥ b(1), (2), (3)
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따름정리 C
정리 T 에서 a ≠ 0, b ≠ 0 이라는 가정은 뺄 수 없다.
증명.
(1)임의의 벡터 b 에 대하여 0·b = 0 × b₁ + 0 × b₂ = 0 + 0 = 0A2, A6, A7
(2)영벡터는 반직선을 정하지 못하므로 0 과 b 가 이루는 각은 정해지지 않고, 0 ⊥ b 는 뜻을 가지지 않는다.D1
(3)가정을 빼면 (1) 의 모든 쌍에서 왼쪽은 참이고 오른쪽은 뜻이 없으므로, 정리는 그대로 성립하지 못한다.(1), (2), T
(4)내적이 0 이라는 것은 수직이거나, 둘 중 하나가 영벡터라는 것이다.(1), (3), T
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
성분식만 남겨 두고, a₁b₁ + a₂b₂ = 0 이라는 계산이 각에 대해 무엇을 말해 주는지 확인하라.