PROOF 155
증명하라.
벡터 덧셈은 교환법칙을 만족한다
평면 벡터 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
평면의 벡터를 실수의 순서쌍 a = (a₁, a₂) 로 정한다. 두 벡터는 두 성분이 각각 같을 때, 그리고 그때에만 같다.
증명.
(1)a₁ 을 x 성분, a₂ 를 y 성분이라 한다.약속
(2)(a₁, a₂) = (b₁, b₂) 는 a₁ = b₁ 이고 a₂ = b₂ 임을 뜻한다.약속
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정의 D2
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂) 로 정한다.
증명.
(1)덧셈은 성분마다 실수의 덧셈을 하는 것이다.약속
(2)뺄셈도 같은 방식으로 a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂) 로 둔다.약속
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정의 D3
점 P = (p₁, p₂) 와 벡터 a 에 대하여 P + a = (p₁ + a₁, p₂ + a₂) 로 두고, P 에서 P + a 로 가는 화살표를 P 에 a 를 놓은 것이라 한다.
증명.
(1)화살표 PQ 의 성분을 Q − P 로 둔다.약속
(2)P 에 a 를 놓은 화살표의 성분은 (P + a) − P = (a₁, a₂) = a(1), A3, D2, D1
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보조정리 L1
점 P 에 a 를 놓은 화살표의 끝점을 Q 라 하고, 그 Q 에 b 를 놓은 화살표의 끝점을 R 이라 하면 R = P + (a + b)
증명.
(1)Q = P + a = (p₁ + a₁, p₂ + a₂)D3
(2)R = Q + b = ((p₁ + a₁) + b₁, (p₂ + a₂) + b₂)(1), D3
(3)(p₁ + a₁) + b₁ = p₁ + (a₁ + b₁) 이고 (p₂ + a₂) + b₂ = p₂ + (a₂ + b₂)A2
(4)R = (p₁ + (a₁ + b₁), p₂ + (a₂ + b₂)) = P + (a + b)(2), (3), D1, D2, D3, E
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정리 T1
모든 벡터 a, b 에 대하여 a + b = b + a
증명.
(1)a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)D2
(2)a₁ + b₁ = b₁ + a₁ 이고 a₂ + b₂ = b₂ + a₂A1
(3)두 성분이 각각 같으므로 (a₁ + b₁, a₂ + b₂) = (b₁ + a₁, b₂ + a₂)(2), D1
(4)(b₁ + a₁, b₂ + a₂) = b + aD2
(5)a + b = b + a(1), (3), (4), E
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정리 T2
점 O 에서 a 를 놓고 이어서 b 를 놓아 도달한 점과, b 를 놓고 이어서 a 를 놓아 도달한 점은 같다.
증명.
(1)앞의 경로의 끝점을 C 라 하면 C = O + (a + b)L1
(2)뒤의 경로의 끝점을 C′ 이라 하면 C′ = O + (b + a)L1
(3)a + b = b + aT1
(4)O + (a + b) = O + (b + a) 이므로 C = C′(1), (2), (3), D3, E
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따름정리 C
A = O + a, B = O + b 라 하자. 세 점 O, A, B 가 한 직선 위에 있지 않으면 사각형 OACB 는 평행사변형이다.
증명.
(1)두 경로는 같은 점 C 에 도달하므로 C = A + b 이고 C = B + aT2, L1, D3
(2)화살표 OA 와 화살표 BC 는 모두 a 를 놓은 것이므로 성분이 둘 다 a 이다.(1), D3
(3)성분이 같으므로 OA ∥ BC 이고, 두 길이는 모두 √(a₁² + a₂²) 로 같다.(2), A5, A4
(4)화살표 AC 와 화살표 OB 는 모두 b 를 놓은 것이므로 같은 논증으로 AC ∥ OB 이고 두 길이가 같다.(1), D3, A5, A4
(5)O, A, B 가 한 직선 위에 있지 않으므로 네 점은 사각형 OACB 를 이루고, 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.가정, (3), (4), 약속
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 경로의 끝점은 A1 없이도 각각 정해진다. 그 둘이 같은 점이라고 말하는 줄이 어디인지 찾아보라.