□→△ · 규칙과 대응
세기를 계산으로 바꾸는 규칙 찾기
탁자 1개에 의자 4개씩. 탁자 100개면 의자는 몇 개? 다 세어봐야 할까?
몇 개의 예와 일반 규칙을 구분합니다.
다 세지 않고 백 번째를 아는 힘
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 함께 달라지는 양 · 1/3
이 질문이 왜 필요할까요?
식당 주인은 탁자 100개에 의자가 몇 개 필요한지 다 세고 싶지 않습니다. 100번 세는 대신 '탁자마다 4개'라는 규칙을 한 번만 발견하고 싶어요.
규칙을 문장이 아니라 식으로 적는 순간 도약이 일어납니다. □×4 = △라고 쓰면 □에 100을 넣는 것만으로 답 400이 나와요. 세기가 계산이 된 것입니다.
□가 정해지면 △가 하나로 정해진다는 구조가 대응입니다. 나중에 x와 f(x)라는 이름을 얻어 함수가 돼요. 수학에서 가장 중요한 개념의 씨앗이 여기 있습니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 탁자 1개에 의자 4개씩. 탁자 5개면 의자는?
탁자를 늘려보세요
탁자가 1개 늘 때 의자가 몇 개 느는지, 표를 세로로도 읽어보세요.
| 탁자 □ | 1 | 100? |
|---|---|---|
| 의자 △ | 4 | ? |
그럼 탁자 100개면?
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
처음 몇 개의 항이 보이면 규칙을 추측할 수 있지만, 그 짧은 목록만으로 다음 항이 유일하게 정해지는 것은 아닙니다. 패턴을 발견하는 일과 생성 규칙을 정하는 일을 나누어 봅시다.
2, 4, 6 다음에 8을 떠올리는 것은 자연스럽습니다. 그러나 네 번째부터 다른 규칙을 따르는 수열도 만들 수 있습니다. 왜 그 규칙을 선택했는지, 문제에서 무엇을 약속했는지가 필요합니다.
표를 가로로 읽으면 다음이 보이고, 세로로 읽으면 규칙이 보인다.
4, 8, 12를 가로로 읽으면 '+4씩'만 보입니다. 1↔4, 2↔8, 3↔12를 세로로 읽어야 '×4'가 보여요. 세로 읽기가 함수적 사고의 시작입니다.
□와 △는 아이들의 장난감이 아니라 변수의 조상이다.
초등학교의 □×4=△가 중학교의 y=4x입니다. 기호만 바뀔 뿐이에요. 모르는 값의 자리를 비워두고 관계를 적는다는 발상은 똑같습니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
유한한 사례에 맞는 규칙은 여러 개일 수 있습니다. 발견한 규칙은 일반 명제와 구별합니다.
탁자와 의자에서 발견한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 탁자와 의자 실험과 짝지어 보기
× =
대응 관계
탁자 수 □가 정해지면 의자 수 △가 하나로 정해집니다. □ 자리에 어떤 수를 넣어도 작동하는 관계의 식이에요.
붙인 탁자의 규칙
탁자를 한 줄로 붙이면 긴 옆면에 2×□명, 양 끝에 2명이 앉습니다. 같은 탁자라도 배치가 다르면 식이 달라져요. 규칙은 상황이 만듭니다.
함수로 가는 다리
□×4=△에 이름을 바꿔 달면 f(x)=4x입니다. 초등의 대응 관계가 곧 함수예요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
규칙 찾기는 다음 하나를 맞히는 퀴즈다.
진짜 힘은 100번째, 1000번째를 세지 않고 계산하는 것입니다. 4, 8, 12 다음이 16임을 아는 것보다 '□번째 = □×4'라는 식을 갖는 것이 규칙 찾기의 목적이에요.
규칙은 항상 '몇 씩 커진다'는 덧셈이다.
탁자를 한 줄로 붙이면 의자는 2×□+2가 됩니다. 곱하고 더하는 규칙도 있고, 2배씩 커지는 규칙도 있어요. '몇 씩'만 보면 놓치는 규칙이 많습니다. 표를 세로로, 즉 □와 △ 사이로 보는 눈이 필요해요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
요금의 규칙
택시는 기본요금 4,800원에 km당 800원이 붙습니다. 요금 = 800×□+4,800이에요. 전기, 수도, 통신 요금이 전부 '기본+단가×사용량'의 대응식입니다.
달력의 규칙
이번 달 첫 월요일이 3일이면 월요일은 3, 10, 17, 24, 31일입니다. 7씩 커지는 규칙이에요. □번째 월요일 = 7×(□−1)+3입니다.
레고와 블록 쌓기
계단 모양으로 블록을 쌓으면 n층까지 1+2+…+n개가 듭니다. 놀이 속 규칙 찾기가 수열의 합으로 이어져요.
프로그래밍
코드의 함수(function)는 입력이 정해지면 출력이 정해지는 규칙 그 자체입니다. 규칙을 식으로 적는 훈련이 코딩적 사고의 뿌리예요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
예를 몇 개 더 확인하면 모든 경우에 맞다는 증명이 될까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
일반적으로는 아닙니다. 증명하려면 규칙이 왜 모든 해당 경우에 적용되는지 논증해야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 탁자 1개에 의자가 4개씩입니다. 탁자 100개면 의자는 몇 개일까요?
2. 규칙 찾기의 진짜 목적은 무엇일까요?
3. 탁자를 한 줄로 붙이면 의자 수는 2×□+2가 됩니다. 탁자 10개를 붙이면 의자는?
4. 1↔1, 2↔4, 3↔9, 4↔16의 규칙은 무엇일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1세발자전거 □대의 바퀴 수를 식으로 적어보세요. 자전거 25대면 바퀴는?답 보기 ▾
바퀴 = □×3입니다. □에 25를 넣으면 75개예요. 다 세지 않고 식 하나로 끝납니다.
Q2성냥개비로 삼각형을 한 줄로 이어 붙이면 1개에 3개비, 2개에 5개비, 3개에 7개비… 삼각형 □개엔?답 보기 ▾
2×□+1개비입니다. 첫 삼각형에 3개비가 들고, 그다음부터는 2개비씩만 추가되니까요. 10개면 21개비입니다. '몇 씩 는다'(+2)와 '식'(2□+1)을 둘 다 갖는 게 요령이에요.
Q31↔1, 2↔4, 3↔9, 4↔16의 규칙은 무엇일까요?답 보기 ▾
△ = □×□, 제곱입니다. 가로로 보면 +3, +5, +7로 헷갈리지만 세로로 1↔1, 2↔4를 보면 규칙이 바로 보여요. 세로 읽기의 힘입니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
이 글이 있는 읽기 길: 함께 달라지는 양 · 1/3
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
다음 개념으로 연결
관련 실험실
관련 실험실