cm³ · 겉넓이와 부피
담는 양은 부피, 감싸는 양은 겉넓이
길쭉한 상자와 뭉툭한 상자, 어느 쪽에 각설탕이 더 많이 들어갈까요?
겉넓이와 부피의 단위를 구분합니다.
잘게 부순 얼음이 통얼음보다 빨리 녹는 이유
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이 질문이 왜 필요할까요?
이 상자에 짐이 다 들어갈까, 이 컵에 우유가 다 담길까. 공간의 크기는 눈대중으로 알기 어렵습니다. 키가 큰 상자가 커 보여도 실제로는 뭉툭한 상자와 같은 양을 담기도 해요.
그래서 수학자들은 크기가 똑같은 작은 정육면체를 기준으로 정했습니다. 각설탕처럼 생긴 이 조각을 몇 개 쌓을 수 있는지 세는 것이 부피예요. 세는 순간 공간의 크기가 숫자가 됩니다.
그런데 상자에는 질문이 하나 더 있습니다. 겉을 감싸는 포장지는 얼마나 필요할까요? 이것이 겉넓이입니다. 안에 담는 양과 겉을 싸는 양은 서로 다른 두 질문이라서, 부피가 같아도 겉넓이는 다를 수 있어요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 길쭉한 상자와 뭉툭한 상자입니다. 어느 쪽에 각설탕이 더 많이 들어갈까요?
직접 쌓아보세요
가로·세로·높이를 바꾸면 각설탕(단위 정육면체)이 다시 쌓입니다. 세 번 이상 바꿔보세요.
바닥에 깐 개수
3 × 2 = 6
층수
2
부피 (전체 개수)
12
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
겉넓이는 입체의 표면을 덮는 양이고 부피는 내부를 채우는 양입니다. 겉을 칠하는 문제와 안을 채우는 문제를 같은 공식으로 풀 수 없는 이유입니다.
한 변이 2인 정육면체의 겉넓이는 6×2²=24, 부피는 2³=8입니다. 한 변을 4로 늘리면 겉넓이는 네 배, 부피는 여덟 배가 됩니다.
부피는 쌓기, 겉넓이는 포장지다.
부피는 각설탕을 몇 개 쌓을 수 있는지 세는 질문이고, 겉넓이는 상자를 펼쳐 포장지의 크기를 재는 질문입니다. 하나의 상자에 두 가지 질문이 들어 있어요. 이 구분만 잡히면 공식은 저절로 따라옵니다.
커질수록 부피가 겉넓이보다 빨리 자란다.
길이가 2배가 되면 겉넓이는 곱하기 두 번이라 4배, 부피는 곱하기 세 번이라 8배가 됩니다. 코끼리가 더위에 약하고 생쥐가 추위에 약한 이유가 전부 이 속도 차이에서 나와요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
길이 단위를 먼저 통일하고, 제곱 단위와 세제곱 단위를 구분합니다.
각설탕을 쌓고 상자를 펼치며 몸으로 느낀 것을 수학의 말로 적으면 이렇습니다.
공식 해부 — 1단계에서 쌓던 것과 짝지어 보기
= ×
직육면체의 부피
바닥에 깐 개수(가로×세로)에 층수(높이)를 곱합니다. 부피 재기는 결국 쌓아 세기의 지름길이에요.
직육면체의 겉넓이
펼치면 여섯 면이 나오고, 마주 보는 면끼리 크기가 같습니다. 그래서 세 종류의 면을 각각 2배 해서 더해요. 2×2×3 상자라면 2×(4+6+6) = 32입니다.
들이와 부피
우유갑의 1L는 10cm짜리 정육면체 상자 하나의 부피입니다. 10×10×10 = 1,000이라서예요.
확대의 규칙
겉넓이는 곱하기 두 번이라 k², 부피는 곱하기 세 번이라 k³배가 됩니다. 2배 확대면 겉넓이 4배, 부피 8배예요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
부피가 크면 겉넓이도 크고, 부피가 같으면 겉넓이도 같다.
1×1×12 상자와 2×2×3 상자는 둘 다 각설탕 12개짜리로 부피가 같습니다. 그런데 겉넓이는 50과 32로 달라요. 같은 양의 초콜릿도 길쭉하게 만들면 포장지가 더 듭니다. 안에 담는 양과 겉을 싸는 양은 별개의 측정이에요.
모든 변을 2배로 늘리면 부피도 2배가 된다.
가로, 세로, 높이가 각각 2배가 되니 부피는 2×2×2 = 8배가 됩니다. 겉넓이는 2×2 = 4배예요. 전부 2배로 늘렸으니 결과도 2배라는 직감은 길이 하나만 볼 때의 이야기입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
우유갑의 1L
1L는 10cm × 10cm × 10cm 상자에 딱 들어가는 양, 즉 1,000cm³입니다. 들이 단위는 쌓기로 잰 부피에 붙인 또 다른 이름이에요.
냉장고와 세탁기의 용량
냉장고 300L, 세탁기 21kg 같은 표시의 출발점은 내부 공간의 부피 계산입니다. 가전을 고를 때 우리는 이미 부피를 읽고 있어요.
코끼리의 큰 귀
몸이 커질수록 열을 만드는 부피는 빨리 늘고 열을 내보내는 피부(겉넓이)는 천천히 늡니다. 코끼리가 큰 귀를 부채처럼 흔드는 것은 겉넓이를 늘리는 냉각 장치예요.
감자를 잘게 썰면 빨리 익는 이유
같은 부피라도 잘게 자를수록 겉넓이가 늘어나 열이 닿는 면이 많아집니다. 요리사의 채썰기는 겉넓이를 키우는 수학이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
부피가 같으면 겉넓이도 같을까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
일반적으로는 아닙니다. 내부를 같은 양만큼 채우더라도 모양에 따라 바깥 표면의 넓이가 달라집니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 가로 2cm, 세로 3cm, 높이 4cm인 직육면체의 부피는 몇 cm³일까요?
2. 1×1×12 상자와 2×2×3 상자는 부피가 12로 같습니다. 겉넓이는 어떨까요?
3. 정육면체의 모든 변을 2배로 늘리면 부피는 몇 배가 될까요?
4. 우유갑에 적힌 1L는 몇 cm³일까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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