PROOF 158
증명하라.
구의 부피
공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
평면 α 를 z = 0, 그 위의 점 O 를 원점으로 둔다. 중심이 O 이고 반지름이 r 인 공 가운데 z ≥ 0 인 부분을 반구 H 라 한다.
증명.
(1)중심이 O 이고 반지름이 r 인 공은 O 로부터의 거리가 r 이하인 점 전체다. 그 부피를 구의 부피라 한다.약속
(2)α 위의 원판(중심 O, 반지름 r)을 밑면으로 하고 높이가 r 인 원기둥을 C 라 한다. C 는 z = 0 과 z = r 사이에 있다.약속
(3)꼭짓점이 O 이고 밑면이 C 의 윗면인 원뿔을 K 라 하고, C 에서 K 를 뺀 부분을 W 라 한다.약속
(4)H 도 z = 0 과 z = r 사이에 있다.(1), 약속
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보조정리 L1
0 ≤ h ≤ r 일 때, 반구 H 를 평면 z = h 로 자른 단면의 넓이는 π(r² − h²)
증명.
(1)0 ≤ h ≤ r 이므로 h² ≤ r², 즉 r² − h² ≥ 0 이고 √(r² − h²) 가 정해진다.가정, A11, A15
(2)M = (0, 0, h) 로 두면 직선 OM 은 평면 z = h 에 수직이다.D1, 약속
(3)평면 z = h 위의 점 P 가 M 과 다르면 OM ⊥ MP 이므로 삼각형 OMP 는 M 에서 직각이고 OP² = h² + MP²(2), A9, A6
(4)P = M 이면 OP = h, MP = 0 이므로 같은 식이 성립한다.(2)
(5)P 가 H 에 속하는 것은 OP ≤ r 인 것이고, 두 수가 음이 아니므로 그것은 OP² ≤ r², 즉 MP² ≤ r² − h² 와 같다.(3), (4), D1, A11, A15
(6)MP ≥ 0 이고 (√(r²−h²))² = r² − h² 이므로, MP² ≤ r² − h² 인 것과 MP ≤ √(r² − h²) 인 것은 같다.(1), (5), A10, A11
(7)단면은 중심 M, 반지름 √(r² − h²) 인 원판이므로 그 넓이는 π(√(r²−h²))² = π(r² − h²)(6), A5, A10
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보조정리 L2
0 ≤ h ≤ r 일 때, W 를 평면 z = h 로 자른 단면의 넓이도 π(r² − h²)
증명.
(1)C 의 단면은 밑면과 합동인 원판이므로 넓이는 πr²D1, A12, A5
(2)K 의 꼭짓점 O 에서 밑면까지의 거리는 r 이고 평면 z = h 까지의 거리는 h 이므로, h > 0 이면 단면의 넓이는 (h/r)² πr² = πh²D1, A4, A5, A14
(3)h = 0 이면 단면은 꼭짓점 하나이고 넓이는 0 = π × 0²D1, 약속
(4)두 단면은 중심이 같은 원판이고 h ≤ r 이므로 K 의 단면은 C 의 단면에 포함된다.(1), (2), (3), 가정, A11
(5)W 의 단면은 C 의 단면에서 K 의 단면을 뺀 것이므로 그 넓이는 πr² − πh² = π(r² − h²)(4), D1, A7, A13
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보조정리 L3
반구 H 와 입체 W 의 부피는 같다.
증명.
(1)H 와 W 는 모두 평면 z = 0 과 z = r 사이에 있다.D1
(2)0 ≤ h ≤ r 인 모든 h 에서 두 단면의 넓이는 모두 π(r² − h²) 이다.L1, L2
(3)두 부피는 같다.(1), (2), A1
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정리 T1
반지름이 r 인 반구의 부피는 ⅔πr³
증명.
(1)C 의 부피는 πr² × r = πr³D1, A2, A5, A14
(2)K 의 부피는 ⅓ × πr² × r = ⅓πr³D1, A3, A5, A14
(3)C 는 K 와 W 로 겹치지 않게 나뉘므로 W 의 부피는 πr³ − ⅓πr³ = ⅔πr³(1), (2), D1, A7, A13, A14
(4)H 의 부피는 W 의 부피와 같으므로 ⅔πr³(3), L3, E
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정리 T2
반지름이 r 인 구의 부피는 ⁴⁄₃πr³
증명.
(1)공은 평면 z = 0 으로 z ≥ 0 인 반구와 z ≤ 0 인 반구로 나뉜다.D1
(2)아래쪽 반구는 위쪽 반구를 평면 z = 0 에 대해 대칭이동한 것이므로 부피가 같다.(1), A8
(3)구의 부피는 ⅔πr³ + ⅔πr³ = ⁴⁄₃πr³(1), (2), T1, A7, A14
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 입체의 단면이 같다는 것과 두 입체의 부피가 같다는 것은 몇 걸음 떨어져 있는지 세어 보라.