PROOF 159
증명하라.
구의 겉넓이
공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
중심이 O 이고 반지름이 ρ 인 공의 부피를 V(ρ), 그 공의 경계인 구면의 넓이를 S(ρ) 라 쓴다.
증명.
(1)S(ρ) 는 각 ρ > 0 에 대하여 정해진 수다.A1
(2)0 < ρ < σ 일 때, 중심이 O 이고 O 로부터의 거리가 ρ 이상 σ 이하인 점 전체를 두께 σ − ρ 인 껍질이라 한다.약속
(3)반지름 σ 인 공은 반지름 ρ 인 공과 그 껍질로 겹치지 않게 나뉘므로 껍질의 부피는 V(σ) − V(ρ)(2), A10
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보조정리 L1
t > 0 이면 S(r)·t ≤ V(r + t) − V(r) ≤ S(r + t)·t
증명.
(1)반지름 r 인 구면과 반지름 r + t 인 구면 사이의 껍질은 두께가 t 이고 그 부피는 V(r + t) − V(r) 이다.D1
(2)그 껍질의 부피는 S(r)·t 이상이고 S(r + t)·t 이하다.(1), A1, A2
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보조정리 L2
0 < t < r 이면 S(r − t)·t ≤ V(r) − V(r − t) ≤ S(r)·t
증명.
(1)r − t > 0 이므로 반지름 r − t 인 구면과 반지름 r 인 구면 사이의 껍질을 잡을 수 있고, 그 두께는 t 이다.가정, D1
(2)그 껍질의 부피는 V(r) − V(r − t) 이다.(1), D1
(3)사잇값을 반지름 r − t 와 두께 t 에 적용하면 S(r − t)·t ≤ V(r) − V(r − t) ≤ S(r)·t(1), (2), A1, A2
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보조정리 L3
V 는 미분가능하고 V′(r) = 4πr²
증명.
(1)V(ρ) = ⁴⁄₃πρ³A3
(2)(ρ³)′ = 3ρ²A4
(3)V′(ρ) = ⁴⁄₃π × 3ρ² = 4πρ²(1), (2), A5, A11
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정리 T
반지름이 r 인 구면의 넓이는 S(r) = 4πr²
증명.
(1)t > 0 일 때 L1 의 왼쪽 부등식을 t 로 나누면 S(r) ≤ (V(r + t) − V(r))/tL1, A9, A11
(2)t → 0+ 일 때 오른쪽은 V′(r) 로 가고, V′(r) = 4πr² 이다.A6, L3
(3)S(r) 은 t 와 무관하므로 극한을 취하면 S(r) ≤ 4πr²(1), (2), A7
(4)0 < t < r 일 때 L2 의 오른쪽 부등식을 t 로 나누면 (V(r) − V(r − t))/t ≤ S(r)L2, A9, A11
(5)s = −t 로 두면 (V(r) − V(r − t))/t = (V(r + s) − V(r))/s 이고, t → 0+ 는 s → 0− 이므로 이 값은 V′(r) = 4πr² 로 간다.A6, A11, L3, E
(6)극한을 취하면 4πr² ≤ S(r)(4), (5), A7
(7)S(r) ≤ 4πr² 이고 4πr² ≤ S(r) 이므로 S(r) = 4πr²(3), (6), A8
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
부피를 미분하는 계산과, 그 도함수를 넓이라 부르는 일은 같은 줄에 있지 않다. 어느 줄이 어느 쪽인지 갈라 보라.