PROOF 58
증명하라.
뿔의 부피는 기둥의 1/3
공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
평면 α 위의 도형 F 와 α 밖의 점 V 에 대하여, V 와 F 의 각 점을 잇는 모든 선분의 합집합을 밑면이 F 이고 꼭짓점이 V 인 뿔이라 한다.
증명.
(1)밑넓이는 F 의 넓이 S 이고, 높이 h 는 V 에서 평면 α 까지의 거리다.약속
(2)F 가 다각형이면 각뿔, 원이면 원뿔이라 한다. 아래의 증명은 F 의 모양을 쓰지 않는다.약속
(3)삼각형을 밑면으로 하는 뿔은 네 점이 정하는 사면체이고, 그 네 면 중 어느 것을 밑면으로 잡아도 같은 입체다.약속
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보조정리 L1
밑넓이가 S 인 뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자를 때, 그 평면이 꼭짓점 V 로부터 밑면까지 거리의 r 배(0 < r ≤ 1)에 있으면 단면의 넓이는 r²S 이다.
증명.
(1)V 를 중심으로 하는 r 배 확대 f 가 존재한다.A6
(2)f 는 밑면이 놓인 평면 α 를 α 에 평행한 평면 α′ 로 보내고, V 에서 α′ 까지의 거리는 rh 이다.(1), A6, A7, A8, D1
(3)P 가 밑면 F 의 점이면 Vf(P) = r·VP ≤ VP 이므로 f(P) 는 선분 VP 위에 있고, 직선 VP 와 α′ 의 교점은 하나뿐이므로 f(P) 가 그 교점이다.(1), (2), A6, A12
(4)뿔의 점은 모두 어떤 VP 위에 있으므로, f(F) 는 뿔과 α′ 이 만나는 부분 전체, 즉 단면이다.(3), D1
(5)단면은 밑면과 닮음비 r 로 닮았다.(4), A7
(6)닮음비가 r 이므로 단면의 넓이는 r²S 이다.(5), A5
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보조정리 L2
밑넓이가 같고 높이가 같은 두 뿔의 부피는 같다.
증명.
(1)두 뿔을 옮겨 두 밑면이 같은 평면 α 위에 오게 하고 두 꼭짓점을 α 의 같은 쪽에 둔다. 옮겨도 부피는 변하지 않는다.가정, A4
(2)높이가 h 로 같으므로 두 꼭짓점은 α 에 평행하고 α 로부터 거리가 h 인 한 평면 위에 있다. 두 뿔은 그 두 평면 사이에 있다.(1), 가정, D1
(3)α 로부터 거리가 s 인 평행한 평면은 두 꼭짓점 모두로부터 거리가 h − s 이므로, 두 단면의 넓이는 모두 ((h−s)/h)²S 이다.(2), L1, 가정
(4)두 평면 사이의 모든 평행한 평면에서 단면의 넓이가 같으므로 두 부피는 같다.(3), A1
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정리 T1
밑넓이가 S 이고 높이가 h 인 삼각뿔의 부피는 ⅓Sh 이다.
증명.
(1)밑면이 △ABC (넓이 S) 이고 높이가 h 인 삼각기둥 ABC-DEF 를 잡는다. A↔D, B↔E, C↔F 이고 옆면 ABED, BCFE, ACFD 는 평행사변형이다.A11, 약속
(2)평면 ACE 는 기둥을 두 조각으로 나눈다. 하나는 밑면이 △ABC 이고 꼭짓점이 E 인 삼각뿔, 다른 하나는 밑면이 평행사변형 ACFD 이고 꼭짓점이 E 인 사각뿔이다.(1), A9, D1
(3)뿔은 밑면의 분할을 그대로 따라 나뉘므로, 대각선 CD 로 ACFD 를 △ACD 와 △CFD 로 나누면 사각뿔은 두 삼각뿔 E-ACD 와 E-CFD 로 나뉜다.(2), D1
(4)세 삼각뿔은 겹치지 않고 그 합이 기둥이므로 세 부피의 합은 Sh 이다.(2), (3), A2, A3
(5)밑면 △ACD 와 △CFD 는 평행사변형을 대각선으로 나눈 것이므로 넓이가 같고, 두 뿔의 꼭짓점이 E 로 같고 두 밑면이 한 평면 위에 있으므로 높이도 같다. 따라서 두 부피는 같다.(3), A10, L2
(6)삼각뿔 E-ABC 는 밑면 △ABE 에 꼭짓점 C 인 뿔이기도 하고, 삼각뿔 E-ACD 는 밑면 △ADE 에 꼭짓점 C 인 뿔이기도 하다.(2), (3), D1
(7)△ABE 와 △ADE 는 평행사변형 ABED 를 대각선 AE 로 나눈 것이므로 넓이가 같고, 꼭짓점이 C 로 같고 두 밑면이 한 평면 위에 있으므로 높이도 같다. 따라서 두 부피는 같다.(6), (1), A10, L2
(8)세 부피가 모두 같으므로 그 값을 V 라 하면 V + V + V = 3V = Sh 이고, 따라서 V = ⅓Sh 이다.(4), (5), (7), A14, A15, E
(9)삼각뿔 E-ABC 의 밑넓이는 S 이고 높이는 h 이다.(1), (2), D1
(10)밑넓이가 S 이고 높이가 h 인 임의의 삼각뿔은 이것과 밑넓이와 높이가 같으므로 부피도 ⅓Sh 이다.(8), (9), L2
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정리 T2
밑넓이가 S 이고 높이가 h 인 뿔의 부피는 ⅓Sh 이다. 즉 밑넓이와 높이가 같은 기둥의 부피의 1/3 이다.
증명.
(1)넓이가 S 인 삼각형이 존재하므로, 그것을 밑면으로 하고 높이가 h 인 삼각뿔이 존재한다.A13, D1
(2)그 삼각뿔의 부피는 ⅓Sh 이다.(1), T1
(3)주어진 뿔은 밑면이 다각형이든 원이든 그 삼각뿔과 밑넓이가 같고 높이가 같다.가정, (1), D1
(4)L2 에 의해 두 부피는 같으므로 주어진 뿔의 부피는 ⅓Sh 이다.(2), (3), L2
(5)밑넓이가 S 이고 높이가 h 인 기둥의 부피는 Sh 이므로, 뿔의 부피는 그 1/3 이다.(4), A2, A15
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
기둥을 세 조각으로 나누는 데까지는 자르기만 쓴다. 셋이 서로 같다고 말하는 줄이 어디인지 찾아보라.