∫ₐᵇ · 리만 적분
위아래에서 조여드는 상합과 하합이 만나는 한 값, 그것이 넓이
곡선 아래 넓이는 어떻게 정확히 잴 수 있을까요? 자로도, 외운 공식으로도 안 됩니다.
표본점과 분할의 역할을 읽습니다.
무한히 많은 직사각형을 더했는데 답이 유한한 이유
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 글이 있는 읽기 길: 가까워진다는 말을 엄밀하게 · 3/3
이 질문이 왜 필요할까요?
'곡선 아래 넓이'라는 말은 오래전부터 있었지만, 그 넓이가 정확히 무엇인지는 흐릿했습니다. 직사각형이나 삼각형의 넓이는 공식이 있지만, 굽은 경계로 둘러싸인 넓이에는 잴 자가 없었어요.
뉴턴과 라이프니츠는 원시함수 F(x)로 넓이를 계산했습니다. 하지만 그것은 계산법이지 정의가 아니었어요. '넓이란 무엇인가'라는 물음에는 답하지 못했습니다. 계산이 맞는 이유를 아무도 엄밀하게 말하지 못한 거죠.
리만이 준 답이 조임입니다. 직사각형으로 위에서 누르고 아래서 받쳐, 두 합이 같은 값으로 조여드는 순간 그 값을 넓이라 부릅니다. 이 정의는 F(x) 없이도 넓이를 세우고, 동시에 어떤 함수는 넓이를 갖지 못함까지 정확히 밝혀냈어요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
곡선 아래 넓이는 어떻게 정확히 잴까요? 자로 잴 수도, 공식을 외울 수도 없습니다. 대신 직사각형으로 위아래에서 조여봅시다. 무대는 f(x)=x², 구간 [0, 1]이에요. 참값 넓이는 1/3입니다.
예측 먼저 — 직사각형을 무한히 잘게 늘리면, 위에서 누르는 상합과 아래서 받치는 하합은 어떻게 될까요?
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
정적분을 한 가지 계산 공식으로 보지 말고, 어떤 값으로 넓이나 누적량을 정할지에 대한 약속으로 읽어 봅시다. 위아래에서 가능한 값을 좁혀 하나로 정해지는지가 질문입니다.
[0,1]의 x²을 같은 폭으로 나누면 증가함수이므로 각 구간의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝이 하합과 상합을 만듭니다. 두 합의 차이는 1/n으로 줄어듭니다. 이 예제에서는 증가한다는 조건이 계산을 단순하게 해 줍니다.
적분은 원시함수의 반대 계산이 아니라, 넓이의 조임이다.
고등학교에서는 ∫를 '미분을 거꾸로'로 배웁니다. 대학에서는 순서가 뒤집혀요. 먼저 상합과 하합의 조임으로 넓이를 정의하고, 원시함수와의 연결은 나중에 기본정리로 증명합니다. 정의가 먼저, 계산법은 나중입니다.
모든 함수가 넓이를 갖는 것은 아니다.
직관은 '곡선이 있으면 그 아래 넓이도 있다'고 속삭입니다. 디리클레 함수가 그 직관을 무너뜨려요. 조임이 성립하는 함수만 넓이를 갖습니다. 적분 가능성은 함수가 통과해야 할 자격 심사예요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
일반적인 유계함수의 상합·하합에는 sup와 inf를 사용합니다. 최대·최소가 실제로 달성된다고 가정하지 않습니다.
조이기 게임에서 몸으로 겪은 것을 수학의 언어로 옮기면 이렇습니다.
정의 해부 — 1·2단계에서 조여본 것과 짝짓기
∫ₐᵇ f dx = ·
상합과 하합 (x², [0,1] 검산)
1단계 슬라이더가 보여준 두 수입니다. n=2면 U=0.625, L=0.125. n을 키우면 둘 다 1/3으로 조여들어요.
조임으로 정의한 넓이
위에서 누르는 상합과 아래서 받치는 하합이 같은 극한 1/3에 도달합니다. 그 하나의 값이 정적분이에요.
간격이 0으로 가는 이유
x²는 증가함수라 소구간마다 (최댓값−최솟값)이 상쇄되어 간격이 정확히 1/n입니다. 0으로 가면 낄 값은 하나뿐이에요.
리만 적분의 일반 정의
닫힌 유계구간 [a,b]의 유계 함수 f를 다룹니다. 각 소구간의 sup f와 inf f로 상합 U(P), 하합 L(P)를 정의해요. 상적분 infₚ U(P)와 하적분 supₚ L(P)가 같을 때 리만 적분이 존재합니다. 동치로, 망의 크기 ‖P‖→0일 때 모든 표본점 선택의 리만 합이 같은 값으로 수렴합니다. 상한·하한을 실제로 취하지 않아도 정의할 수 있어요.
닫힌 유계구간의 유계 함수가 대상입니다. 상한·하한은 극값을 실제로 취하지 않아도 정의됩니다.
참고자료
- OpenStax · Calculus Volume 2 · 3.6 Numerical Integration
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
적분은 부정적분(원시함수 찾기)과 같은 것이다.
실험에서 우리는 F(x)를 한 번도 찾지 않고 넓이를 정했습니다. 적분의 정의는 넓이의 조임이에요. 원시함수와의 연결은 별개의 정리(미적분의 기본정리)입니다. 리만은 F(x) 없이도 넓이를 정의했어요.
모든 함수는 넓이(적분값)를 갖는다.
디리클레 함수가 반례입니다. 유리수에서 1, 무리수에서 0이라 모든 소구간에 1과 0이 함께 살아요. 상합은 늘 1, 하합은 늘 0이라 간격이 0으로 가지 않습니다. 그래서 리만 적분이 불가능해요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
컴퓨터가 넓이를 구하는 법
사다리꼴·심프슨 공식은 함수를 단순한 모양으로 근사해 적분값을 계산합니다. 그 근삿값이 자동으로 참값의 위·아래 경계가 되는 것은 아니에요. 필요한 매끄러움과 도함수의 범위 등 조건이 주어지면 별도로 오차 상계를 구할 수 있습니다.
확률의 연속 분포
키나 몸무게처럼 연속으로 퍼진 값의 확률은 곡선(확률밀도함수) 아래 넓이로 정의됩니다. 특정 구간에 속할 확률이 곧 그 구간 위 넓이, 즉 적분이에요. 넓이가 확률입니다.
원주율을 조여서 구하기
사분원 y=√(1−x²) 아래 넓이는 π/4입니다. 직사각형으로 위아래에서 조이면 π가 결정론적으로 좁혀져요. 무작위로 점을 찍는 몬테카를로와 달리, 흔들림 없이 조이는 방법입니다.
리만이 던진 질문, 르베그의 대답
'어떤 함수가 넓이를 갖는가'라는 리만의 물음은 20세기 르베그 적분으로 이어졌습니다. 디리클레 함수처럼 리만이 놓친 함수까지 넓이를 갖게 만든, 적분의 확장판이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
아무 함수에서나 오른쪽 끝점의 합을 상합이라고 부를 수 있나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
없습니다. 그 구간에서 오른쪽 끝점이 가장 높은 값이라는 보장이 있어야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. f(x)=x², 구간 [0,1]을 2등분했습니다. 상합 U(2)의 값은? (소수로, 또는 5/8)
2. f(x)=x², [0,1]에서 상합과 하합의 간격 U(n)−L(n)이 n을 키우면 0으로 가는 이유는?
3. 리만 적분에서 '적분의 정의'는 무엇인가요?
4. 디리클레 함수(유리수에서 1, 무리수에서 0)가 리만 적분 불가능한 이유는?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
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