정의 D1
[a,b] 의 분할이란 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 인 유한개의 점이다. Δxᵢ = xᵢ − xᵢ₋₁ 로 쓴다.
증명.
(1)P 의 점을 모두 가지면서 점을 더 가진 분할을 P 의 세분이라 한다.약속
(2)두 분할 P₁, P₂ 의 점을 합친 P₁ ∪ P₂ 는 P₁ 의 세분이자 P₂ 의 세분이다.(1)
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정의 D2
Iᵢ = [xᵢ₋₁, xᵢ] 에 대하여 Mᵢ = sup f(Iᵢ), mᵢ = inf f(Iᵢ) 라 하고, U(P) = Σ MᵢΔxᵢ, L(P) = Σ mᵢΔxᵢ 로 둔다.
증명.
(1)f 는 [a,b] 에서 유계이므로 각 조각에서 Mᵢ 와 mᵢ 가 존재한다.가정, A3
(2)mᵢ ≤ Mᵢ 이고 Δxᵢ > 0 이므로 어떤 분할에서도 L(P) ≤ U(P) 이다.(1), D1, A4, A2
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정의 D3
상적분은 모든 분할에 대한 U(P) 의 하한, 하적분은 L(P) 의 상한이다. 둘이 같을 때 f 는 적분가능하다 하고, 그 공통값을 ∫ₐᵇ f 로 쓴다.
증명.
(1)f 가 유계이므로 {U(P)} 와 {L(P)} 도 유계이고, 따라서 상적분과 하적분이 존재한다.가정, D2, A3, A2
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정의 D4
f 가 리만 조건을 만족한다는 것은, 임의의 ε > 0 에 대하여 U(P) − L(P) < ε 인 [a,b] 의 분할 P 가 존재함을 뜻한다.
증명.
(1)이 조건은 분할 하나만 본다. 상적분도 하적분도 등장하지 않는다.D2, 약속
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보조정리 L1
X 가 공집합이 아니고 유계이며 ε > 0 이면, sup X − ε < x 인 x ∈ X 와 y < inf X + ε 인 y ∈ X 가 있다.
증명.
(1)X 가 유계이므로 sup X 와 inf X 가 존재한다.가정, A3
(2)모든 x ∈ X 에서 x ≤ sup X − ε 라 하자.가정
(3)sup X − ε 가 상계이고 sup X 는 최소인 상계이므로 sup X ≤ sup X − ε 이다.(1), (2), A5
(4)양변에서 sup X 를 빼면 0 ≤ −ε, 즉 ε ≤ 0 이다. 이는 ε > 0 에 모순이다.(3), A1, A2
(5)그러므로 x ≤ sup X − ε 가 아닌 x ∈ X 가 있다. 곧 sup X − ε < x 이다.(4), A10
(6)inf 쪽은 A6 을 같은 방식으로 써서 얻는다.(1), A6, A1, A2, A10
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정리 T1
f 가 리만 조건을 만족하면 f 는 [a,b] 에서 적분가능하다.
증명.
(1)ε > 0 이 주어졌다 하고 U(P) − L(P) < ε 인 분할 P 를 잡는다.가정, D4
(2)상적분은 {U(P)} 의 하한이므로 상적분 ≤ U(P) 이고, 하적분 ≥ L(P) 이다.D3, A4
(3)0 ≤ 상적분 − 하적분 ≤ U(P) − L(P) < εA8, (1), (2), A1, A2
(4)ε 은 임의였으므로 상적분 − 하적분 = 0 이다.(3), A9
(5)상적분 = 하적분 이므로 f 는 적분가능하다.(4), A1, D3
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정리 T2
f 가 [a,b] 에서 적분가능하면 f 는 리만 조건을 만족한다.
증명.
(1)ε > 0 이 주어졌다 하고, 상적분과 하적분의 공통값을 I 라 하자.가정, D3
(2)I 는 {U(P)} 의 하한이므로 U(P₁) < I + ε/2 인 분할 P₁ 이 있다.(1), D3, L1, A1
(3)I 는 {L(P)} 의 상한이므로 L(P₂) > I − ε/2 인 분할 P₂ 가 있다.(1), D3, L1, A1
(4)P = P₁ ∪ P₂ 로 두면 P 는 P₁ 의 세분이자 P₂ 의 세분이다.D1
(5)세분의 부등식에 의해 U(P) ≤ U(P₁) 이고 L(P) ≥ L(P₂) 이다.(4), D2, A7
(6)U(P) − L(P) ≤ U(P₁) − L(P₂) < (I + ε/2) − (I − ε/2) = ε(2), (3), (5), A1, A2
(7)임의의 ε > 0 에 그러한 P 가 있으므로 f 는 리만 조건을 만족한다.(6), D4
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따름정리 C
f 가 [a,b] 에서 유계일 때, f 가 적분가능한 것과 f 가 리만 조건을 만족하는 것은 같다.
증명.
(1)리만 조건이면 적분가능하다.T1
(2)적분가능하면 리만 조건을 만족한다.T2
(3)두 방향이 모두 성립하므로 두 명제는 동치다. 이제 적분가능성은 분할 하나로 판정된다.(1), (2)
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