정의 D1
[a,b] 의 분할 P: a = x₀ < … < xₙ = b 에 대하여 Iᵢ = [xᵢ₋₁, xᵢ], Mᵢ = sup f(Iᵢ), mᵢ = inf f(Iᵢ) 라 하고, U(P) = Σ MᵢΔxᵢ, L(P) = Σ mᵢΔxᵢ 로 둔다.
증명.
(1)이 정의는 46편의 것을 그대로 가져온 것이다. f 는 유계라고 가정한다.약속, 가정
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정의 D2
상적분과 하적분이 같을 때 f 는 적분가능하다 하고, 그 공통값을 ∫ₐᵇ f 로 쓴다. 이 표기는 a < b 에서만 정의되었다.
증명.
(1)위끝이 아래끝보다 작은 경우는 아직 뜻을 가지지 않는다. 그 자리는 D3 에서 채운다.약속
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정의 D3
a > b 일 때 ∫ₐᵇ f = −∫ᵇₐ f 로, a = b 일 때 ∫ₐᵃ f = 0 으로 약속한다.
증명.
(1)D2 는 a < b 에서만 정의되었다. 이것은 정리가 아니라 정의를 넓히는 약속이다.D2, 약속
(2)약속이므로 참인지 거짓인지 물을 수 없다. 물을 수 있는 것은 이 약속이 무엇을 보존하는가이다.약속
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정리 T1
a < b < c 이고 f 가 [a,b] 와 [b,c] 에서 적분가능하면, f 는 [a,c] 에서 적분가능하고 ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f 이다.
증명.
(1)ε > 0 이 주어졌다 하자.가정
(2)리만 조건에 의해 U(P₁) − L(P₁) < ε/2 인 [a,b] 의 분할 P₁ 과 U(P₂) − L(P₂) < ε/2 인 [b,c] 의 분할 P₂ 가 있다.가정, (1), A4, A1
(3)P₁ 과 P₂ 를 이어 붙인 것은 b 를 점으로 가지는 [a,c] 의 분할 P 다.(2), D1
(4)조각이 그대로 유지되므로 U(P) = U(P₁) + U(P₂) 이고 L(P) = L(P₁) + L(P₂) 이다.(3), D1, A1
(5)U(P) − L(P) = (U(P₁) − L(P₁)) + (U(P₂) − L(P₂)) < ε(2), (4), A1, A2
(6)ε 은 임의였으므로 리만 조건에 의해 f 는 [a,c] 에서 적분가능하다.(5), A4, D2
(7)L(P) ≤ ∫ₐᶜ f ≤ U(P) 이다.(6), A5
(8)L(P₁) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ U(P₁) 이고 L(P₂) ≤ ∫ᵇᶜ f ≤ U(P₂) 이므로, 더하면 L(P) ≤ ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f ≤ U(P) 이다.가정, A5, (4), A2
(9)두 수가 모두 L(P) 와 U(P) 사이에 있으므로 |∫ₐᶜ f − (∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f)| ≤ U(P) − L(P) < ε(7), (8), (5), A1, A2, A10
(10)ε 은 임의였으므로 그 차는 0 이고, ∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f 이다.(9), A3, A1
(11)이 증명은 기본정리를 쓰지 않았다. 47편이 구간 가법성을 공리로 놓았으므로, 쓰면 순환이 된다.(10), D1
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정리 T2
f 와 g 가 [a,b] 에서 연속이고 α, β 가 상수이면 ∫ₐᵇ (αf + βg) = α∫ₐᵇ f + β∫ₐᵇ g 이다.
증명.
(1)f 와 g 가 연속이므로 F(x) = ∫ₐˣ f 와 G(x) = ∫ₐˣ g 는 각각 f 와 g 의 원시함수다.가정, A6
(2)(αF + βG)′ = αf + βg 이다.(1), A8
(3)αf + βg 는 [a,b] 에서 연속이다.가정, A9
(4)기본정리에 의하여 ∫ₐᵇ (αf + βg) = (αF + βG)(b) − (αF + βG)(a) 이다.(2), (3), A7
(5)우변을 정리하면 α(F(b) − F(a)) + β(G(b) − G(a)) 이다.(4), A1
(6)기본정리를 F 와 G 에 각각 쓰면 F(b) − F(a) = ∫ₐᵇ f, G(b) − G(a) = ∫ₐᵇ g 이다.(1), 가정, A7
(7)그러므로 ∫ₐᵇ (αf + βg) = α∫ₐᵇ f + β∫ₐᵇ g 이다.(5), (6), E
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정리 T3
f 가 한 구간에서 연속이고 a, b, c 가 그 구간의 점이면, D3 의 약속 아래에서 순서에 관계없이 ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f 이다.
증명.
(1)f 가 연속이므로 그 구간에서 f 의 원시함수 F 가 있다.가정, A6
(2)u < v 이면 기본정리에 의하여 ∫ᵤᵛ f = F(v) − F(u) 이다.(1), A7
(3)u = v 이면 약속에 의하여 ∫ᵤᵘ f = 0 = F(u) − F(u) 이다.D3, A1
(4)u > v 이면 약속에 의하여 ∫ᵤᵛ f = −∫ᵥᵘ f = −(F(u) − F(v)) = F(v) − F(u) 이다.D3, (2), A1
(5)그러므로 순서에 관계없이 ∫ᵤᵛ f = F(v) − F(u) 이다.(2), (3), (4)
(6)∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = (F(b) − F(a)) + (F(c) − F(b)) = F(c) − F(a) = ∫ₐᶜ f(5), A1
(7)a < b < c 인 경우 이 식은 T1 이다. 약속은 T1 을 나머지 순서로 넓힌 것이다.(6), T1
(8)u > v 에서 ∫ᵤᵛ f = ∫ᵥᵘ f 로 약속했다면 (4) 가 F(u) − F(v) 가 되어 (6) 이 깨진다. 부호는 이 때문에 붙었다.(4), (6), A1
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