정의 D1
[a,b] 의 분할이란 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 인 유한개의 점이다. Δxᵢ = xᵢ − xᵢ₋₁, ‖P‖ = max Δxᵢ 로 쓴다.
증명.
(1)각 조각은 Iᵢ = [xᵢ₋₁, xᵢ] 이고 Δxᵢ > 0 이다.약속
(2)P 의 점을 모두 가지면서 점을 더 가진 분할을 P 의 세분이라 한다.약속
∎
정의 D2
Mᵢ = sup f(Iᵢ), mᵢ = inf f(Iᵢ) 라 하고, U(P) = Σ MᵢΔxᵢ, L(P) = Σ mᵢΔxᵢ 로 둔다.
증명.
(1)f 는 [a,b] 에서 유계이므로 각 조각에서 Mᵢ 와 mᵢ 가 존재한다.가정, A3
(2)U(P) 를 상합, L(P) 를 하합이라 한다. 어느 쪽도 넓이라 부르지 않는다.약속
∎
정의 D3
상적분은 모든 분할에 대한 U(P) 의 하한, 하적분은 L(P) 의 상한이다. 둘이 같을 때 f 는 적분가능하다 하고, 그 공통값을 ∫ₐᵇ f 로 쓴다.
증명.
(1)m = inf f([a,b]), M = sup f([a,b]) 라 하면 모든 조각에서 m ≤ mᵢ ≤ Mᵢ ≤ M 이다.가정, A3, A4, A5, A6, A2
(2)그러므로 모든 분할에서 m(b−a) ≤ L(P) ≤ M(b−a) 이고 m(b−a) ≤ U(P) ≤ M(b−a) 이다.(1), D1, D2, A1, A2
(3)두 집합이 유계이므로 상적분과 하적분이 존재한다.(2), A3
(4)넓이는 이 정의에서 나온다. 그 반대가 아니다.약속
∎
보조정리 L1
각 조각에서 점 ξᵢ ∈ Iᵢ 를 하나씩 뽑아 R(P,ξ) = Σ f(ξᵢ)Δxᵢ 라 하면 L(P) ≤ R(P,ξ) ≤ U(P) 이다.
증명.
(1)ξᵢ ∈ Iᵢ 이므로 mᵢ ≤ f(ξᵢ) ≤ Mᵢ 이다.D2, A4
(2)Δxᵢ > 0 이므로 mᵢΔxᵢ ≤ f(ξᵢ)Δxᵢ ≤ MᵢΔxᵢ 이다.(1), D1, A2
(3)n 개의 부등식을 더하면 L(P) ≤ R(P,ξ) ≤ U(P) 이다.(2), A2, A8, D2
∎
보조정리 L2
P′ 이 P 의 세분이면 L(P) ≤ L(P′) ≤ U(P′) ≤ U(P) 이다.
증명.
(1)먼저 P 의 조각 Iᵢ 안에 점 y 를 하나만 더한 경우를 본다.D1, 가정
(2)[xᵢ₋₁, y] ⊆ Iᵢ 이므로 그 위의 f 의 값은 모두 Mᵢ 이하다.(1), D2, A4
(3)따라서 [xᵢ₋₁, y] 에서의 sup 은 Mᵢ 이하다. [y, xᵢ] 도 같다.(2), A5
(4)Mᵢ Δxᵢ = Mᵢ(y − xᵢ₋₁) + Mᵢ(xᵢ − y)A1
(5)(3) 을 (4) 의 두 항에 넣으면 새 두 항의 합은 MᵢΔxᵢ 이하다.(3), (4), A2
(6)다른 조각은 그대로이므로 U(P′) ≤ U(P) 이다.(5), D2, A2
(7)하한에 A6 을 같은 방식으로 쓰면 L(P) ≤ L(P′) 이다.(1), A4, A6, A1, A2
(8)세분은 점을 유한 번 더해 얻으므로 (6)(7) 이 그대로 이어진다.(6), (7), D1, A8
(9)mᵢ ≤ Mᵢ 이므로 어떤 분할에서도 L ≤ U 이다.D2, A4, A2
∎
보조정리 L3
임의의 두 분할 P, Q 에 대하여 L(P) ≤ U(Q) 이고, 따라서 하적분 ≤ 상적분 이다.
증명.
(1)P 와 Q 의 점을 모두 합친 분할 P ∪ Q 는 P 의 세분이자 Q 의 세분이다.D1
(2)L(P) ≤ L(P∪Q) ≤ U(P∪Q) ≤ U(Q)(1), L2
(3)Q 를 고정하면 U(Q) 는 모든 L(P) 의 상계이므로 하적분 ≤ U(Q) 이다.(2), A5, D3
(4)이는 모든 Q 에 대해 성립하므로 하적분 ≤ 상적분 이다.(3), A6, D3
∎
보조정리 L4
모든 ε > 0 에 대하여 U(P) − L(P) ≤ ε 인 분할 P 가 있으면 f 는 적분가능하다.
증명.
(1)ε > 0 이 주어졌다 하고 그러한 P 를 잡는다.가정
(2)상적분 ≤ U(P) 이고 하적분 ≥ L(P) 이다.D3, A4
(3)0 ≤ 상적분 − 하적분 ≤ U(P) − L(P) ≤ εL3, (1), (2), A1, A2
(4)ε 은 임의였으므로 상적분 − 하적분 = 0 이다.(3), A7
(5)상적분 = 하적분 이므로 f 는 적분가능하다.(4), A1, D3
∎
정리 T
f 가 [a,b] 에서 연속이면 f 는 [a,b] 에서 적분가능하다.
증명.
(1)ε > 0 이 주어졌다 하자.가정
(2)η = ε / (b − a) 로 두면 η > 0 이다.가정, A1, A2
(3)δ > 0 이 있어 |s − t| < δ 인 모든 s, t 에서 |f(s) − f(t)| < η 이다.가정, (2), A10
(4)(b − a)/n < δ 인 n 을 잡아 [a,b] 를 n 등분하면 모든 Δxᵢ < δ 이다.(3), A9, D1
(5)한 조각의 s, t 는 |s − t| ≤ Δxᵢ < δ 이므로 f(s) < f(t) + η 이다.(3), (4), A2
(6)t 를 고정하고 s 에 대한 sup 을 취하면 Mᵢ ≤ f(t) + η 이다.(5), A5, D2
(7)모든 t 에서 f(t) ≥ Mᵢ − η 이므로 mᵢ ≥ Mᵢ − η 이다.(6), A6, A1, D2
(8)그러므로 Mᵢ − mᵢ ≤ η 이다.(7), A1, A2
(9)U(P) − L(P) = Σ(Mᵢ − mᵢ)Δxᵢ ≤ η Σ Δxᵢ = η(b − a) = ε(8), (2), D2, A1, A2, A8
(10)모든 ε 에 대해 그러한 P 가 있으므로 f 는 적분가능하다.(9), L4
∎
따름정리 C
f 가 [a,b] 에서 연속이면, ‖P‖ 를 충분히 작게 하는 것만으로 리만합 R(P,ξ) 는 ξ 를 어떻게 뽑든 ∫ₐᵇ f 에 얼마든지 가까워진다.
증명.
(1)ε > 0 에 대해 T 의 (3) 이 준 δ 를 잡는다. 이 δ 는 분할에 의존하지 않는다.T, A10
(2)‖P‖ < δ 인 임의의 분할에 대해 T 의 (5)~(9) 가 그대로 성립하므로 U(P) − L(P) ≤ ε 이다.(1), T
(3)f 는 적분가능하므로 L(P) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ U(P) 이다.T, D3, A4
(4)또한 L(P) ≤ R(P,ξ) ≤ U(P) 이다.L1
(5)두 수가 모두 L(P) 와 U(P) 사이에 있으므로 |R(P,ξ) − ∫ₐᵇ f| ≤ U(P) − L(P) ≤ ε 이다.(2), (3), (4), A1, A2
(6)그러므로 ∫ₐᵇ f 는 ‖P‖ → 0 일 때 리만합의 극한이다.(5), D3
∎