[aᵢⱼ]행렬 실험실

분식집 두 지점의 판매량 표와 메뉴 가격표. 이 두 표를 통째로 곱할 수 있을까요?

행렬은 여러 수를 한 상자에 담아 한 몸처럼 움직이는 도구다. 행을 눕히고 열을 세워 곱해서 더하면, 상자끼리도 곱할 수 있다.

Experiment

직접 만져보기

🍢 어제의 판매량

	떡볶이	김밥
A지점	30	20
B지점	20	40

💰 메뉴별 가격표

	가격	원가
떡볶이	3,000	1,000
김밥	2,500	1,500

🤔 A지점의 매출은 어떻게 구할까요?

📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾

Why

왜 필요한가

2,000년 전 중국의 수학책 구장산술은 연립방정식을 풀 때 미지수 이름을 지우고 계수만 네모난 표에 적었습니다. 수만 남기면 풀이가 표 안에서 줄을 맞춰 움직이는 놀이가 돼요.

19세기 수학자 케일리는 한 걸음 더 나갔습니다. 표를 그냥 두지 않고, 표끼리 더하고 곱하는 규칙을 만들었어요. 그 순간 표는 계산의 대상이 되었습니다. 여러 수를 한 몸처럼 움직이는 상자, 행렬이 태어난 순간이에요.

오늘날 이 상자는 세상에서 가장 바쁜 수학이 되었습니다. 게임 화면의 모든 회전과 확대, 신경망의 모든 층이 행렬 곱이에요. GPU라는 칩은 사실상 이 곱해서 더하기를 위해 태어난 기계입니다.

Insight

영상에서 말한 인사이트

“행렬은 수를 담는 상자가 아니라, 움직임을 담는 상자다.”
네 개의 수 [[0,−1],[1,0]]은 그냥 표처럼 보입니다. 하지만 도형에 곱하는 순간 90° 회전이라는 동작이 돼요. 수가 아니라 동작을 적어 둔 것이라서, 곱하는 순서도 중요해집니다.

“AI의 '생각'은 대부분 곱해서 더하기다.”
신경망의 한 층은 가중치 상자와 입력의 곱입니다. 분식집 매출 계산과 똑같은 곱해서 더하기가 수십억 번 반복될 뿐이에요. 그래서 이 계산을 가장 잘하는 GPU가 AI 시대의 심장이 되었습니다.

Misconception

사람들이 흔히 하는 오해

수의 곱셈처럼 행렬도 AB와 BA가 같다.

✓

행렬은 순서를 바꾸면 결과가 달라질 수 있습니다. 2단계에서 회전 먼저와 늘리기 먼저를 해보면 다른 도형에 도착해요. 행렬은 움직임을 담은 상자이고, 움직임은 순서가 중요하기 때문입니다.

행렬은 숫자를 모아 둔 표일 뿐, 계산의 대상이 아니다.

✓

행렬의 힘은 상자끼리 곱할 수 있다는 데 있습니다. 곱하는 순간 표는 매출 계산기가 되고, 도형을 움직이는 기계가 되고, 신경망의 한 층이 돼요. 곱셈이 정의된 순간부터 행렬은 표가 아니라 수의 확장입니다.

Formula

수식으로 정리하기

실험에서 겪은 '행을 눕히고 열을 세워 곱해서 더한다'를 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.

🔬 공식 해부 — 분식집 표와 짝지어 보기

행렬 곱의 정의

결과의 i행 j열 칸은, 앞 행렬의 i번째 행을 눕히고 뒤 행렬의 j번째 열을 세워 곱해서 더한 값입니다. 1단계에서 빈칸을 탭할 때마다 한 일이 바로 이것이에요.

연립방정식의 압축

2x+y=5와 x+3y=10 두 줄이 Ax=b 한 줄이 됩니다. 미지수가 100만 개여도 쓰는 법은 똑같아요.

90° 회전 상자

1열 (0, 1)은 î=(1,0)의 도착지, 2열 (−1, 0)은 ĵ=(0,1)의 도착지입니다. 열을 읽으면 상자가 어떤 동작인지 보여요.

순서의 법칙

행렬 곱은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없습니다. 2단계에서 회전 먼저와 늘리기 먼저가 서로 다른 도형이 된 이유예요.

In Real Life

현실에서 만나는 곳

게임과 영화의 화면

캐릭터가 돌고, 커지고, 기울어지는 모든 장면은 좌표에 행렬을 곱한 결과입니다. 3D 게임은 1초에 수억 번 이 곱셈을 해요.

신경망의 한 층

인공지능의 층 하나는 가중치 행렬과 입력의 곱입니다. 챗봇에게 보낸 문장도 숫자 상자가 되어 이 곱셈을 통과해요.

사진 한 장 = 숫자 행렬

디지털 사진은 픽셀 밝기를 담은 거대한 행렬입니다. 흐리게, 선명하게 같은 필터는 전부 이 행렬에 하는 계산이에요.

GPU — 행렬 곱 전용 기계

게임 그래픽용이던 GPU가 AI 시대의 핵심 부품이 된 이유는 하나입니다. 그래픽과 신경망 둘 다, 하는 일이 거대한 행렬 곱이기 때문이에요.

Practice

풀어보기 — 유형 정복

정복 0 / 4

행렬 곱의 한 칸: 앞 행렬의 행 (2, 3)을 눕히고 뒤 행렬의 열 (5, 1)을 세워 곱해서 더하면?

두 행렬 A, B의 곱 AB와 BA는?

90° 회전 상자 [[0, −1], [1, 0]]은 점 (1, 0)을 어디로 보낼까요?

연립방정식 2x+y=5, x+3y=10을 Ax=b로 쓸 때, 상자 A는?

Watch

개념은 이어진다

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{ }

연립방정식

여러 개의 식을 한 줄로 압축하고 싶었던 순간, 행렬이 태어났다.

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다음 개념으로 연결

신경망

신경망의 한 층이 곧 행렬 곱 — AI의 심장으로.

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