PROOF 69
증명하라.
AB ≠ BA
행렬 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
같은 꼴의 두 행렬 A, B 의 합은 (A + B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ 로 정한다.
증명.
합은 성분별로 정한다. 곱과 달리 합에는 합성이 개입하지 않는다.약속
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정의 D2
A² 은 AA 를, 2A 는 A + A 를 뜻한다. 2×2 행렬은 첫 행이 a b, 둘째 행이 c d 일 때 (a b ; c d) 로 적는다.
증명.
제곱과 2배는 새 연산이 아니라 표기다.약속
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보조정리 L1
A(B + C) = AB + AC 이고 (A + B)C = AC + BC
증명.
(1)(A(B + C))ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ(B + C)ₖⱼA1
(2)(B + C)ₖⱼ = Bₖⱼ + CₖⱼD1
(3)Aᵢₖ(Bₖⱼ + Cₖⱼ) = AᵢₖBₖⱼ + AᵢₖCₖⱼA3
(4)Σₖ (AᵢₖBₖⱼ + AᵢₖCₖⱼ) = Σₖ AᵢₖBₖⱼ + Σₖ AᵢₖCₖⱼ(3), A4, A5, I
(5)Σₖ AᵢₖBₖⱼ + Σₖ AᵢₖCₖⱼ = (AB)ᵢⱼ + (AC)ᵢⱼ = (AB + AC)ᵢⱼA1, D1
(6)성분이 모두 같으므로 A(B + C) = AB + AC(1), (2), (4), (5)
(7)((A + B)C)ᵢⱼ = Σₖ (Aᵢₖ + Bᵢₖ)CₖⱼA1, D1
(8)(Aᵢₖ + Bᵢₖ)Cₖⱼ = AᵢₖCₖⱼ + BᵢₖCₖⱼA3, A6
(9)같은 방법으로 (A + B)C = AC + BC(7), (8), A4, A5, I, A1, D1
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정리 T1
「모든 행렬 A, B 에 대하여 AB = BA」 는 거짓이다.
증명.
(1)A = (0 1 ; 0 0), B = (0 0 ; 1 0) 로 둔다.약속
(2)(AB)₁₁ = A₁₁B₁₁ + A₁₂B₂₁ = 0·0 + 1·1 = 1A1, N
(3)나머지 성분도 같은 방법으로 계산하면 AB = (1 0 ; 0 0)A1, N
(4)같은 방법으로 BA = (0 0 ; 0 1)A1, N
(5)(1, 1) 성분이 1 과 0 으로 다르므로 AB ≠ BA(3), (4)
(6)그러므로 이 A, B 는 그 전칭명제의 반례다.(5)
(7)반례가 하나 있으므로 그 명제는 거짓이다.(6), A7
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정리 T2
행렬의 곱은 결합법칙과 분배법칙을 만족한다. 성립하지 않는 것은 교환법칙뿐이다.
증명.
(1)(AB)C = A(BC) 는 성립한다. 곱이 합성이고 합성이 결합적이기 때문이다.A2
(2)A(B + C) = AB + AC 와 (A + B)C = AC + BC 도 성립한다.L1
(3)AB = BA 는 성립하지 않는다.T1
(4)그러므로 세 법칙 가운데 잃는 것은 교환법칙 하나다.(1), (2), (3)
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따름정리 C1
(A + B)² = A² + AB + BA + B² 이며, 이것은 A² + 2AB + B² 와 같지 않다.
증명.
(1)(A + B)² = (A + B)(A + B)D2
(2)(A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B)L1
(3)A(A + B) = AA + AB, B(A + B) = BA + BBL1
(4)(A + B)² = A² + AB + BA + B²(1), (2), (3), D2
(5)2AB 는 AB + AB 이므로, AB + BA 를 2AB 로 합치려면 AB = BA 가 필요하다.D2
(6)T1 의 A, B 에서 A² = (0 0 ; 0 0), B² = (0 0 ; 0 0)T1, D2, A1, N
(7)A + B = (0 1 ; 1 0) 이므로 (A + B)² = (1 0 ; 0 1)T1, D1, D2, A1, N
(8)A² + AB + BA + B² = (1 0 ; 0 1), A² + 2AB + B² = (2 0 ; 0 0)(6), T1, D1, D2, N
(9)그러므로 (A + B)² ≠ A² + 2AB + B²(7), (8)
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따름정리 C2
A³ 은 괄호에 상관없이 하나로 정해진다.
증명.
(1)A³ 은 (AA)A 로도 A(AA) 로도 적을 수 있다.D2
(2)(AA)A = A(AA)A2
(3)그러므로 A³ 은 괄호 없이 써도 뜻이 하나다.(1), (2)
(4)교환법칙이 없어도 이것은 성립한다. 필요한 것은 결합법칙뿐이다.(3), T1
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비고
A2 는 이 증명들에서 제거할 수 있는가.
이 무대에는 교환법칙이 처음부터 없다. 그다음으로 무엇까지 버릴 수 있는지 확인하라.