정의 D1
모든 벡터 x, y 와 모든 스칼라 a, b 에 대하여 f(ax + by) = af(x) + bf(y) 를 만족하는 f 를 선형사상이라 한다.
증명.
이 편에서 다루는 사상은 선형사상뿐이다.A1
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정의 D2
V 의 기저를 e₁, …, eₙ, W 의 기저를 e′₁, …, e′ₘ 이라 하고, f : V → W 에 대하여 f(eⱼ) = A₁ⱼe′₁ + ⋯ + Aₘⱼe′ₘ 로 둔다. 이 Aᵢⱼ 를 모은 표를 f 의 행렬이라 한다.
증명.
(1)f(eⱼ) 는 W 의 벡터이므로 기저 e′ 의 좌표로 유일하게 적힌다.A2
(2)Aᵢⱼ 는 j 번째 기저벡터의 상의 i 번째 좌표다. 행렬은 사상을 기저에서 적어 둔 표다.(1), 약속
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정의 D3
f : V → W 와 g : W → U 에 대하여 (g∘f)(x) = g(f(x)) 로 둔다.
증명.
합성은 f 의 값에 g 를 다시 적용하는 것이다.약속
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보조정리 L1
n ≥ 2 이고 x = x₁e₁ + ⋯ + xₙeₙ 이면 f(x) = x₁f(e₁) + ⋯ + xₙf(eₙ)
증명.
(1)x 의 좌표 x₁, …, xₙ 은 유일하게 정해진다.A2
(2)n = 2 일 때 f(x₁e₁ + x₂e₂) = x₁f(e₁) + x₂f(e₂)A1
(3)n 에서 성립한다 하고 u = x₁e₁ + ⋯ + xₙeₙ 으로 둔다.가정
(4)x₁e₁ + ⋯ + xₙ₊₁eₙ₊₁ = 1·u + xₙ₊₁eₙ₊₁(3), A9
(5)f(1·u + xₙ₊₁eₙ₊₁) = 1·f(u) + xₙ₊₁f(eₙ₊₁) = f(u) + xₙ₊₁f(eₙ₊₁)(4), A1, A9
(6)f(u) = x₁f(e₁) + ⋯ + xₙf(eₙ)(3)
(7)그러므로 n + 1 에서도 성립한다.(5), (6)
(8)귀납법에 의해 모든 n ≥ 2 에서 성립한다.(2), (7), N
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정리 T1
f 와 g 가 선형사상이면 g∘f 도 선형사상이다.
증명.
(1)(g∘f)(ax + by) = g(f(ax + by))D3
(2)f(ax + by) = af(x) + bf(y)D1
(3)(g∘f)(ax + by) = g(af(x) + bf(y))(1), (2)
(4)g(af(x) + bf(y)) = a g(f(x)) + b g(f(y))D1
(5)g(f(x)) = (g∘f)(x), g(f(y)) = (g∘f)(y)D3
(6)(g∘f)(ax + by) = a(g∘f)(x) + b(g∘f)(y)(3), (4), (5)
(7)그러므로 g∘f 는 D1 을 만족한다.(6), D1
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정리 T2
f 의 행렬을 A, g 의 행렬을 B 라 하면 g∘f 의 행렬의 (i, j) 성분은 Bᵢ₁A₁ⱼ + ⋯ + BᵢₘAₘⱼ 이다.
증명.
(1)g∘f 는 선형사상이므로 그 행렬이 정해진다.T1, D2
(2)(g∘f)(eⱼ) = g(f(eⱼ))D3
(3)f(eⱼ) = A₁ⱼe′₁ + ⋯ + Aₘⱼe′ₘD2
(4)g(f(eⱼ)) = A₁ⱼ g(e′₁) + ⋯ + Aₘⱼ g(e′ₘ)(3), L1
(5)g(e′ₖ) = B₁ₖe″₁ + ⋯ + Bₗₖe″ₗD2
(6)Aₖⱼ g(e′ₖ) = (AₖⱼB₁ₖ)e″₁ + ⋯ + (AₖⱼBₗₖ)e″ₗ(5), A3, A5, A7, N
(7)k = 1 부터 m 까지 더한 뒤 같은 e″ᵢ 를 가진 항끼리 모은다.(4), (6), A6, A7
(8)e″ᵢ 의 계수는 A₁ⱼBᵢ₁ + ⋯ + AₘⱼBᵢₘ(7), A4, N
(9)AₖⱼBᵢₖ = BᵢₖAₖⱼA8
(10)(g∘f)(eⱼ) 의 e″ᵢ 좌표는 Bᵢ₁A₁ⱼ + ⋯ + BᵢₘAₘⱼ 이다.(8), (9)
(11)좌표는 유일하므로 그것이 g∘f 의 행렬의 (i, j) 성분이다.(10), A2, D2
(12)g∘f 의 행렬을 BA 로 적으면 (BA)ᵢⱼ = Bᵢ₁A₁ⱼ + ⋯ + BᵢₘAₘⱼ 다. 이 식은 곱의 정의가 아니라 합성이 낳은 것이다.(11), 약속
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따름정리 C
선형사상 h, g, f 의 행렬을 각각 A, B, C 라 하면 (AB)C = A(BC)
증명.
(1)((h∘g)∘f)(x) = h(g(f(x))) = (h∘(g∘f))(x)D3
(2)그러므로 (h∘g)∘f 와 h∘(g∘f) 는 같은 사상이다.(1)
(3)두 사상은 선형사상이므로 각각 행렬을 가진다.T1, D2
(4)T2 를 두 번 쓰면 (h∘g)∘f 의 행렬은 (AB)C, h∘(g∘f) 의 행렬은 A(BC) 다.T2
(5)같은 사상은 기저의 상이 같고 좌표는 유일하므로 두 행렬은 같다.(2), (3), A2, D2
(6)(AB)C = A(BC)(4), (5)
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