PROOF 179
증명하라.
역행렬이 있으려면 행렬식이 0이 아니어야 한다
행렬 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
A = (a b ; c d) 에 대하여 det A = ad − bc 로 둔다.
증명.
(1)det 는 행렬 하나에 실수 하나를 대응시킨다. 2차 정사각행렬은 첫 행이 a b, 둘째 행이 c d 일 때 (a b ; c d) 로 적는다.약속
(2)det I = 1·1 − 0·0 = 1(1), A14, N
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정의 D2
AB = BA = I 인 행렬 B 가 있으면 A 를 가역이라 하고, 그 B 를 A 의 역행렬이라 하여 A⁻¹ 로 쓴다.
증명.
(1)I 는 모든 A 에 대하여 AI = IA = A 인 행렬이다.A7
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정의 D3
A = (a b ; c d) 에 대하여 adjA = (d −b ; −c a) 로 둔다.
증명.
(1)대각선의 두 성분을 맞바꾸고 나머지 둘의 부호를 바꾼 것이다.약속
(2)adjA 의 네 성분이 모두 0 인 것은 a = b = c = d = 0 일 때뿐이다.(1), A12
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보조정리 L1
모든 A 에 대하여 A·adjA = adjA·A = (det A) I
증명.
(1)(A·adjA)₁₁ = a·d + b·(−c) = ad − bcA1, D3, A12, A13
(2)(A·adjA)₁₂ = a·(−b) + b·a = −(ab) + ab = 0A1, D3, A12, A9, A11
(3)(A·adjA)₂₁ = c·d + d·(−c) = cd − dc = 0A1, D3, A12, A9, A11, A13
(4)(A·adjA)₂₂ = c·(−b) + d·a = −(bc) + ad = ad − bcA1, D3, A12, A9, A10, A13
(5)(det A)I 의 성분은 대각선이 det A · 1 = det A, 나머지가 det A · 0 = 0 이다.A5, A14
(6)성분이 모두 같으므로 A·adjA = (det A)I(1), (2), (3), (4), (5), D1
(7)adjA·A 의 성분은 d·a + (−b)·c = ad − bc, d·b + (−b)·d = 0, (−c)·a + a·c = 0, (−c)·b + a·d = ad − bc 이다.A1, D3, A12, A9, A10, A11, A13
(8)그러므로 adjA·A = (det A)I 도 성립한다.(5), (7), D1
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정리 T1
det A ≠ 0 이면 A 는 가역이고 A⁻¹ = (1/det A)·adjA 이다.
증명.
(1)t = det A 로 두면 t ≠ 0 이므로 t⁻¹ 이 있다.가정, D1, A15
(2)B = t⁻¹·adjA 로 둔다.(1), 약속
(3)AB = A(t⁻¹·adjA) = t⁻¹(A·adjA)(2), A4
(4)L1 에 의해 AB = t⁻¹(tI) = (t⁻¹t)I = 1·I = I(1), (3), L1, A6, A15, A5, A14
(5)같은 방법으로 BA = t⁻¹(adjA·A) = I(2), L1, A4, A6, A15, A5, A14
(6)그러므로 B 는 A 의 역행렬이고 A 는 가역이다.(4), (5), D2
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정리 T2
A 가 가역이면 det A ≠ 0 이다.
증명.
(1)AB = I 인 B 가 있다고 하자.가정, D2
(2)양변에 det 를 취하면 det(AB) = det I = 1(1), D1, E
(3)곱셈성에 의해 det A · det B = 1(2), A3
(4)det A = 0 이라 하면 det A · det B = 0A14, A9
(5)0 ≠ 1 이므로 (3) 과 어긋난다.(3), (4), A16
(6)그러므로 det A ≠ 0 이다.(5)
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정리 T3
A 가 가역인 것과 det A ≠ 0 인 것은 같다.
증명.
(1)det A ≠ 0 이면 가역이다.T1
(2)가역이면 det A ≠ 0 이다.T2
(3)그러므로 두 조건은 동치다.(1), (2)
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따름정리 C
det A = 0 이고 A ≠ O 이면 adjA ≠ O 이면서 A·adjA = O 이다.
증명.
(1)L1 에 의해 A·adjA = (det A)I = 0·I = O가정, L1, A5, A14
(2)A ≠ O 이므로 a, b, c, d 가 모두 0 인 것은 아니다.가정
(3)그러므로 adjA ≠ O 이다.(2), D3
(4)곧 A 도 adjA 도 영행렬이 아니면서 그 곱이 영행렬이다. 이런 A 를 영인자라 한다.(1), (3), 약속
(5)A = (1 1 ; 1 1) 이면 det A = 0, adjA = (1 −1 ; −1 1), A·adjA = O 이다.D1, D3, A1, N
(6)A 가 가역이라 하면 adjA = I·adjA = (A⁻¹A)adjA = A⁻¹(A·adjA) = A⁻¹O = O 이 되어 (3) 과 어긋난다.(1), (3), D2, A2, A7, A8
(7)그러므로 det A = 0 이고 A ≠ O 인 A 는 가역이 아니다. 증명 111 이 말한 영인자가 여기서 나온다.(4), (6)
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비고
A3 은 이 증명들에서 제거할 수 있는가.
두 방향 가운데 어느 쪽이 A3 을 인용하는지 보라. 역행렬을 만드는 쪽과 없음을 보이는 쪽은 근거가 다르다.