PROOF 180
증명하라.
행렬식은 넓이의 배율이다
선형사상 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
A = (a b ; c d) 에 대하여 u = A(1,0) = (a, c), v = A(0,1) = (b, d) 로 둔다.
증명.
(1)행렬의 작용으로 계산하면 A(1,0) 의 성분은 a·1 + b·0 = a 와 c·1 + d·0 = c 다.A1, A25
(2)같은 방법으로 A(0,1) = (b, d) 다. 곧 u 와 v 는 A 의 두 열이다.A1, A25
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정의 D2
det A = ad − bc 로 둔다. 이 값을 D 로 적는다.
증명.
(1)D 는 A 의 네 성분만으로 정해지는 수다.약속
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정의 D3
꼭짓점이 0, u, u+v, v 인 사각형을 A 의 상평행사변형이라 한다.
증명.
(1)단위정사각형의 꼭짓점 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) 은 각각 0, u, u+v, v 로 간다.D1, A1
(2)0 에서 u 로 가는 변과 v 에서 u+v 로 가는 변이 모두 u 이고, 나머지 두 변이 모두 v 이므로 평행사변형이다.(1), 약속
(3)u 와 v 가 이루는 각을 θ 라 한다. 아래에서는 먼저 0 < θ < π 인 경우를 본다.(2), 약속
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보조정리 L1
평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱이다.
증명.
(1)대각선으로 두 삼각형 T₁ = (0, u, u+v), T₂ = (0, u+v, v) 를 만든다.D3, A12
(2)T₁ 의 세 변은 |u|, |v|, |u+v| 이고 T₂ 의 세 변도 |u+v|, |u|, |v| 이므로 두 삼각형은 합동이다.(1), A13, A11
(3)합동이므로 두 삼각형의 넓이는 같다.(2), A10
(4)두 삼각형은 겹치지 않고 평행사변형을 채우므로 넓이는 그 합이다.(1), A9
(5)삼각형의 넓이가 ½ × 밑변 × 높이 이므로 평행사변형의 넓이는 2 × ½ × 밑변 × 높이 = 밑변 × 높이 다.(3), (4), A8, A21, A25
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보조정리 L2
|u|²|v|² − (u·v)² = D² 이다. 여기서 D = ad − bc.
증명.
(1)|u|² = a² + c², |v|² = b² + d²D1, A4, A16
(2)u·v = ab + cdD1, A3
(3)(a²+c²)(b²+d²) = a²b² + a²d² + c²b² + c²d²(1), A19, A21
(4)(ab+cd)² = a²b² + 2abcd + c²d²(2), A19, A21, A22, A23
(5)두 식을 빼면 a²d² − 2abcd + c²b²(3), (4), A20, A22, A23, A24
(6)한편 (ad − bc)² = a²d² − 2abcd + b²c²D2, A19, A20, A21, A22, A23, A24
(7)c²b² = b²c² 이므로 |u|²|v|² − (u·v)² = D²(1), (5), (6), A21, E
(8)이 줄까지는 사칙연산만 썼다. 넓이는 아직 나오지 않았다.(7)
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정리 T
A 의 상평행사변형의 넓이는 |det A| 이다.
증명.
(1)먼저 0 < θ < π 인 경우를 본다. 곧 u 와 v 가 한 직선 위에 있지 않은 경우다.D3
(2)밑변을 |u| 로 잡으면 높이는 |v| sin θ 이므로 S = |u||v| sin θ(1), L1, A7
(3)S² = |u|²|v|² sin²θ = |u|²|v|²(1 − cos²θ)(2), A5, A21, A24
(4)|u|²|v|² cos²θ = (|u||v| cos θ)² = (u·v)²A2, A21
(5)그러므로 S² = |u|²|v|² − (u·v)²(3), (4), A20, A25
(6)L2 에 의해 S² = D²(5), L2
(7)|u| > 0, |v| > 0, sin θ > 0 이므로 S > 0 이고, 양변에 제곱근을 취하면 S = |D|(2), (6), A17, A6, A18, A15, A26, E
(8)다음으로 u 와 v 가 한 직선 위에 있는 경우: v = t u 이면 b = ta, d = tc 이므로 D = a(tc) − (ta)c = 0D1, D2, A21, A24, N
(9)그때 상은 선분이므로 넓이가 0 이고 |D| = 0 이다. 결론은 그대로 성립한다.(8), A14, A15
(10)u = 0 이면 a = c = 0, v = 0 이면 b = d = 0 이므로 어느 쪽이든 D = 0 이고 상은 점 또는 선분이다.D1, D2, A25, A24, A14
(11)그러므로 모든 경우에 상평행사변형의 넓이는 |det A| 다.(7), (9), (10)
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따름정리 C1
두 열을 맞바꾸면 행렬식의 부호가 바뀌지만 상평행사변형은 그대로다.
증명.
(1)A′ = (b a ; d c) 로 두면 det A′ = bc − ad = −(ad − bc) = −DD2, A20, A22, A24, N
(2)A′ 의 두 열은 v, u 이므로 그 상평행사변형의 꼭짓점은 0, v, v+u, u 다.D1, D3
(3)u + v = v + u 이므로 (2) 는 A 의 상평행사변형과 같은 도형이다.(2), A22
(4)넓이는 |−D| = |D| 로 같다.(1), (3), A26, T
(5)그러므로 부호는 넓이가 아니라 두 열의 순서를 담는다. |det A| 를 취하는 순간 그 정보는 버려진다.(1), (4)
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따름정리 C2
선형사상이 모든 도형의 넓이를 같은 비로 바꾼다고 하면 |det(AB)| = |det A|·|det B| 이다.
증명.
(1)정리 T 는 단위정사각형 하나에 대한 것이다. 그 배율이 도형에 관계없이 같다고 가정한다.가정, T
(2)AB 는 B 를 먼저, A 를 나중에 적용한 것이다.A27
(3)단위정사각형은 B 에 의해 넓이가 |det B| 인 도형이 되고, 그것이 A 에 의해 |det A| 배가 된다.(1), (2), T
(4)그 결과는 AB 의 상평행사변형이므로 넓이는 |det(AB)| 다.(2), T
(5)그러므로 |det(AB)| = |det A|·|det B|(3), (4)
(6)증명 179 는 이 등식을 부호까지 포함하여 성분 계산으로 확인한다. 넓이는 그 등식이 왜 자연스러운지를 말해 준다.(5)
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비고
A9 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 삼각형을 붙여 평행사변형의 넓이를 얻는 줄과, 대수 항등식만 쓰는 줄을 갈라 보라.