ⁿ√ · CAGR
성장은 곱셈으로 쌓인다 — 누적 수익률을 연 단위로 되돌리려면 나눗셈이 아니라 거듭제곱근(기하평균)이 필요하다.
3년 동안 누적 50% 수익 — 연평균 수익률은 50÷3 ≈ 16.7%일까?
어떤 질문을 풀려는 걸까요?
'3년에 50% 벌었으니 연 16.7%'라는 계산은 자연스러워 보이지만 틀렸다. 연 16.7%씩 3년 복리로 굴리면 58.9%가 되어버린다 — 수익률은 더해지는 게 아니라 곱해지기 때문이다.
곱셈으로 쌓인 것은 곱셈으로 풀어야 한다. (1+r)³ = 1.5를 만족하는 r, 즉 1.5의 세제곱근 − 1 = 연 14.5%가 정답이다. 이것이 연평균 성장률 CAGR이다.
펀드 광고, 기업 실적, 유튜브 채널 성장 — '연평균 몇 %'가 나오는 모든 곳에서 산술평균과 기하평균의 차이가 판단을 가른다. 변동이 클수록 그 차이는 커진다.
조건을 하나씩 바꿔 봅시다
숫자는 입력한 조건에서 나온 결과입니다. 현실의 확정값으로 보기 전에 단위와 가정을 확인해 주세요.
예측 먼저 — 3년 동안 누적 50% 수익. 연평균 수익률은?
두 답을 각각 3년 굴려보세요
100만원으로 시작합니다. 어느 쪽이 정확히 150만원에 도달할까요?
같은 계산을 다른 말로 읽으면
CAGR은 매년 수익률이 실제로 같았다는 주장이 아닙니다. 시작값에서 끝값으로 가는 변화 전체를 일정한 연간 곱셈률 하나로 환산한 것입니다.
100이 2년 뒤 121이 되었다면 연간 1.1배씩 두 번 곱한 것과 같습니다. 연평균 복합 성장률은 10%입니다. 총 21%를 단순히 2로 나누면 같은 결과를 만들지 못합니다.
누적 수익률 ÷ 년수 = 연평균 수익률이다.
성장은 복리(곱셈)로 쌓이므로 나눗셈은 항상 과대평가다. 3년 50%를 3으로 나눈 16.7%로 굴리면 58.9%가 나온다 — 정답은 ³√1.5 − 1 = 14.5%다.
+50%와 −50%가 번갈아 나오면 평균 0%, 본전이다.
1.5 × 0.5 = 0.75 — 25% 손실이다. 산술평균은 0%지만 기하평균은 √0.75 − 1 ≈ −13.4%/년. 변동성 자체가 수익을 갉아먹는다 — 이것이 '변동성 세금'이다.
계산이 성립하는 이유와 조건
양의 시작값과 적절한 기간을 전제로 합니다. 중간 입출금이 있으면 투자 성과를 재는 별도의 방법이 필요합니다.
검증 실험에서 확인한 것을 수식으로 정리하면 이렇습니다.
공식 해부 — 굴려보기 실험과 짝지어 보기
= −
CAGR의 정의
n년 동안의 총 배율에 n제곱근 — '매년 같은 비율로 자랐다면 몇 %였을까'를 되묻는 식이다.
복리의 원형
CAGR은 이 식을 r에 대해 거꾸로 푼 것. 복리(거듭제곱)와 CAGR(거듭제곱근)은 한 쌍이다.
72의 법칙
연 6%면 약 12년, 연 9%면 약 8년에 2배. ln 2 ≈ 0.693에서 나온 근사 — 암산용 CAGR이다.
다른 상황으로 옮겨 볼까요?
펀드·ETF 광고 읽기
'누적 수익률 120%'는 기간을 봐야 한다. 10년이면 CAGR 8.2% — 광고의 큰 숫자를 연 단위로 되돌리는 것이 첫 번째 검증이다.
기업 실적과 성장주
'매출 CAGR 25%'는 3년마다 약 2배라는 뜻(72의 법칙). 투자 보고서의 성장률 언어가 전부 CAGR이다.
국가 경제성장률
'연평균 3% 성장'이 24년이면 GDP 2배. 반대로 연 7% 성장하던 시절의 한국은 10년마다 경제가 2배가 됐다.
변동성 세금
+30%, −20%를 반복하는 자산의 산술평균은 +5%지만 실제 CAGR은 +2%. 변동이 클수록 기하평균은 산술평균보다 낮아진다 — 안정적 수익이 과소평가되는 이유다.
이제 내 말로 설명해 보세요
CAGR이 10%면 두 해 모두 실제 수익률이 10%였나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
그렇다는 뜻은 아닙니다. 시작과 끝만 같은 일정 성장률로 바꿔 표현한 것입니다.
문제로 한 번 더 확인하기
문제 완료 0 / 4
1. 적금이 2년 만에 누적 21% 불었습니다. 연평균 성장률(CAGR)은 얼마일까요?
2. 첫해 +50%, 다음 해 −50%. 평균이 0%니까 내 돈은 본전일까요?
3. 연 8%로 자라는 자산이 2배가 되는 데 약 몇 년 걸릴까요? (72의 법칙)
4. 광고에 '5년 만에 2배!'라고 적혀 있습니다. 연평균 성장률로 되돌리면?
계산 뒤의 수학으로 이어집니다
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