PROOF 91
증명하라.
대입은 정당하다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
다항식 P 와 실수 a 에 대하여 P(a) 는 x 자리마다 a 를 넣고 정해진 덧셈과 곱셈을 수행한 결과다.
증명.
(1)그 수행은 유한 번의 덧셈과 곱셈으로 이루어진다.약속
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정의 D2
P(x) = Q(x) 가 모든 실수 x 에서 성립하면 항등식이라 하고, 성립하는 x 를 찾는 물음으로 볼 때 방정식이라 한다.
증명.
(1)S 를 P(x) = Q(x) 가 성립하는 실수 전체의 집합이라 하자.약속
(2)항등식은 S = ℝ 인 경우다.약속
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보조정리 L1
각 실수 a 에 대하여 P(a) 는 하나의 실수로 정해진다.
증명.
(1)D1 의 수행은 유한 번의 덧셈과 곱셈이다.D1
(2)덧셈과 곱셈은 함수이므로 같은 입력에 같은 값을 준다.A1
(3)각 단계가 값을 하나로 주므로 P(a) 도 하나로 정해진다.(1), (2)
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정리 T1
P(x) = Q(x) 가 항등식이면 모든 실수 a 에 대하여 P(a) = Q(a)
증명.
(1)모든 실수 x 에서 P(x) = Q(x) 라 하자.가정, D2
(2)a 는 실수이므로 P(a) = Q(a) 이다.(1), A2
(3)P(a) 와 Q(a) 는 각각 하나의 실수로 정해진 값이다.L1
(4)그러므로 (2) 는 두 실수 사이의 등식이다.(2), (3)
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정리 T2
P(x) = Q(x) 가 항등식이 아니면 P(a) ≠ Q(a) 인 실수 a 가 존재한다.
증명.
(1)S 를 D2 의 집합이라 하자.D2
(2)항등식이 아니므로 S ≠ ℝ 이다.(1), D2
(3)S 에 속하지 않는 실수 a 가 있다.(2)
(4)그 a 에서는 P(a) ≠ Q(a) 이다.(1), (3)
(5)2x + 1 = 7 에서 x = 3 은 S 에 속하고 x = 0 은 속하지 않는다.N, (1)
(6)등식이 참으로 남는 것은 a 가 S 에 속할 때뿐이다.(4), (5)
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따름정리 C
ax + b = 3x + 5 가 항등식이면 a = 3, b = 5
증명.
(1)모든 실수 x 에서 ax + b = 3x + 5 라 하자.가정, D2
(2)x = 0 을 넣으면 a × 0 + b = 3 × 0 + 5T1
(3)b = 5(2), A3, A4
(4)x = 1 을 넣으면 a × 1 + b = 3 × 1 + 5T1
(5)a + b = 3 + 5(4), A5
(6)a + 5 = 3 + 5(3), (5)
(7)a = 3(6), A6
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
대입이 값을 주는 것과 등식을 남기는 것은 서로 다른 일이다. 어느 쪽이 A1 에 기대는지 확인하라.