PROOF 109
증명하라.
내분점 공식
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
m > 0, n > 0 일 때 선분 AB 를 m : n 으로 내분하는 점 P 는 선분 AB 위에 있고 AP : PB = m : n 인 점이다.
증명.
(1)A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂), P = (x, y) 로 둔다.약속
(2)AP : PB = m : n 은 n·AP = m·PB 를 뜻한다.약속
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보조정리 L1
x₁ ≠ x₂ 이면 n(x − x₁) = m(x₂ − x)
증명.
(1)A′ = (x₁, 0), P′ = (x, 0), B′ = (x₂, 0) 으로 둔다.약속
(2)AA′, PP′, BB′ 은 모두 세로 직선이므로 서로 평행하다.(1), A2
(3)세 평행선이 직선 AB 와 x축을 자르므로 A′P′ : P′B′ = AP : PB = m : n(2), A1, D1
(4)즉 n·A′P′ = m·P′B′(3), D1
(5)A′P′ = |x − x₁| 이고 P′B′ = |x₂ − x|(1), A3
(6)P 는 선분 AB 위에 있으므로 x 는 x₁ 과 x₂ 사이에 있고, x − x₁ 과 x₂ − x 는 부호가 같다.D1, A4
(7)그러므로 |x − x₁| = ε(x − x₁), |x₂ − x| = ε(x₂ − x) 인 ε 가 하나 있다.(6), A5
(8)nε(x − x₁) = mε(x₂ − x) 이고 ε ≠ 0 이므로 n(x − x₁) = m(x₂ − x)(4), (5), (7), A15, A12, A10
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보조정리 L2
n(x − x₁) = m(x₂ − x) 이면 x = (nx₁ + mx₂)/(m + n)
증명.
(1)nx − nx₁ = mx₂ − mx가정, A6, A9
(2)양변에 mx + nx₁ 을 더하면 nx + mx = nx₁ + mx₂(1), E, A7, A8, A9
(3)nx + mx = (n + m)x = (m + n)xA6, A7, A10
(4)m > 0 이고 n > 0 이므로 m + n > 0 이고, 특히 m + n ≠ 0 이다.D1, A14
(5)양변에 1/(m+n) 을 곱하면 x = (nx₁ + mx₂)/(m + n)(2), (3), (4), E, A13, A10, A11
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정리 T1
선분 AB 를 m : n 으로 내분하는 점은 P = ((nx₁ + mx₂)/(m+n), (ny₁ + my₂)/(m+n)) 이다.
증명.
(1)x₁ ≠ x₂ 이면 x = (nx₁ + mx₂)/(m + n) 이다.L1, L2
(2)x₁ = x₂ 이면 P 는 선분 AB 위에 있으므로 x = x₁ = x₂ 다.D1, A4
(3)그때 (nx₁ + mx₂)/(m + n) = (n + m)x₁/(m + n) = x₁ 이므로 식이 성립한다.(2), A6, A7, A10, A11, A13
(4)y 좌표는 x축 대신 y축에 내려 같은 논증을 그대로 되풀이한다.L1, L2
(5)그러므로 P = ((nx₁ + mx₂)/(m+n), (ny₁ + my₂)/(m+n)) 이다.(1), (2), (3), (4)
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따름정리 C
m = n = 1 이면 P = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) 이며, 그 점이 중점이다.
증명.
(1)m = n = 1 이면 m + n = 1 + 1 = 2 다.약속
(2)1×x₁ + 1×x₂ = x₁ + x₂ 이므로 x = (x₁ + x₂)/2 이고 y 도 같다.(1), T1, A11
(3)AP : PB = 1 : 1 이므로 AP = PB 이고, P 는 선분 위에 있으므로 중점이다.D1, A11
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
비를 좌표의 차로 옮기는 줄과 옮긴 뒤 계산하는 줄을 나누어 보라. m + n ≠ 0 이 어느 줄에서 처음 필요한지도 확인하라.