PROOF 108
증명하라.
중점 공식
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
서로 다른 두 점 A, B 에 대하여 선분 AB 의 중점 M 은 선분 AB 위에 있고 AM = MB 인 점이다.
증명.
(1)A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) 로 두고 A ≠ B 라 한다.약속
(2)중점은 좌표의 평균으로 정의된 것이 아니라 거리로 정의된다.약속
∎
보조정리 L1
0 ≤ t ≤ 1 이고 P = A + t(B − A) 이면 AP = t·AB 이고 PB = (1 − t)·AB
증명.
(1)P = (x₁ + t(x₂ − x₁), y₁ + t(y₂ − y₁)) 다.A2
(2)A 와 P 의 좌표차는 t(x₂ − x₁) 과 t(y₂ − y₁) 이다.(1), A5, A6, A7
(3)AP = √(t²(x₂−x₁)² + t²(y₂−y₁)²)(2), A1, A8
(4) = √(t²((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²))(3), A4
(5) = t√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) = t·AB(4), A3, A1
(6)P 와 B 의 좌표차는 (x₂−x₁) − t(x₂−x₁) = (1 − t)(x₂−x₁) 이고 y 도 같다.(1), A4, A5, A6, A7, A9
(7)0 ≤ 1 − t 이므로 같은 방법으로 PB = (1 − t)·AB(6), A13, A1, A3, A4, A8
∎
보조정리 L2
½ + ½ = 1
증명.
(1)1 + 1 을 2 로 쓴다. 2 ≠ 0 이므로 2 × ½ = 1 인 ½ 이 있다.약속, A14, A10
(2)½ + ½ = 1×½ + 1×½ = (1 + 1)½ = 2 × ½(1), A9, A4, A8
(3)그러므로 ½ + ½ = 1(1), (2)
∎
보조정리 L3
A + ½(B − A) = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
증명.
(1)x₁ = 1 × x₁ = (½ + ½)x₁ = ½x₁ + ½x₁L2, A9, A4, A8
(2)½(x₂ − x₁) = ½x₂ − ½x₁A4, A7, A8
(3)x₁ + ½(x₂ − x₁) = ½x₁ + ½x₂ = ½(x₁ + x₂)(1), (2), A4, A5, A6, A7
(4)½(x₁ + x₂) 를 (x₁ + x₂)/2 로 쓴다. y 좌표도 같은 방법이다.(3), 약속
∎
정리 T1
M₀ = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) 는 선분 AB 의 중점이다.
증명.
(1)0 < ½ < 1 이므로 A + ½(B − A) 는 선분 AB 위의 점이며, 그 점이 M₀ 다.A14, A2, L3
(2)AM₀ = ½·AB 이고 M₀B = (1 − ½)·AB(1), L1
(3)1 − ½ = ½ 이다.L2, A6, A7
(4)그러므로 AM₀ = M₀B 이고, M₀ 는 선분 위에 있으므로 중점이다.(1), (2), (3), D1
∎
정리 T2
선분 AB 의 중점은 하나뿐이다.
증명.
(1)M 을 중점이라 하자.가정, D1
(2)M 은 선분 AB 위에 있으므로 M = A + t(B − A) 인 0 ≤ t ≤ 1 이 있다.(1), D1, A2
(3)AM = t·AB 이고 MB = (1 − t)·AB(2), L1
(4)AM = MB 이므로 t·AB = (1 − t)·AB(1), (3), D1
(5)A ≠ B 이므로 AB ≠ 0 이고, 소거하여 t = 1 − t(4), A12, A11, A8
(6)양변에 t 를 더하면 t + t = 1(5), E, A6, A7
(7)t + t = 1×t + 1×t = (1 + 1)t = 2t 이므로 2t = 1(6), A9, A4, A8
(8)2 × ½ = 1 이고 2 ≠ 0 이므로 t = ½(7), A10, A14, A11
(9)M = A + ½(B − A) = M₀(8), (2), L3
(10)중점은 M₀ 하나뿐이며, 그 좌표는 두 점 좌표의 평균이다.(9), T1
∎
비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
좌표의 평균을 계산하는 줄과 거리를 재는 줄을 나누어 보라. 평균이 중점이라는 것은 정의인지 결론인지 확인하라.