PROOF 167
증명하라.
중앙값은 극단값에 흔들리지 않는다
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자료 x₁, …, xₙ 을 크기순으로 늘어놓은 것을 x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ ⋯ ≤ x₍ₙ₎ 으로 쓰고, x₍ⱼ₎ 를 j 번째 순서값이라 한다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u − v 는 u + (−v) 를, u ≤ v 는 u < v 또는 u = v 를 뜻한다.약속
(2)삼분법에 의해 두 값은 언제나 크기가 비교된다.A6
(3)그러므로 남은 값 가운데 가장 작은 것을 차례로 고를 수 있고, 이러한 늘어놓음이 존재한다.(2), A5
(4)같은 값이 여러 번 나오면 늘어놓는 방법은 여럿이지만, j 번째 자리의 값 x₍ⱼ₎ 는 어느 것을 골라도 같다.(3), A6
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정의 D2
n = 2m + 1 일 때 가운데 자리의 값 x₍ₘ₊₁₎ 를 중앙값이라 하고 Me 로 쓴다.
증명.
(1)가운데 자리는 앞에도 m 개, 뒤에도 m 개가 있는 자리다.D1
(2)아래에서는 n 이 홀수인 경우만 다룬다.약속
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정리 T1
n = 2m + 1 이고 m ≥ 1 이라 하자. 최댓값 x₍ₙ₎ 을 x₍ₙ₎ ≤ t 인 어떤 t 로 바꾸어도 중앙값은 변하지 않는다.
증명.
(1)바꾼 뒤의 자료는 x₍₁₎, …, x₍ₙ₋₁₎, t 이다.가정, D1
(2)j ≤ n − 1 이면 x₍ⱼ₎ ≤ x₍ₙ₎ 이고 x₍ₙ₎ ≤ t 이므로 x₍ⱼ₎ ≤ t(1), D1, A5
(3)그러므로 x₍₁₎ ≤ ⋯ ≤ x₍ₙ₋₁₎ ≤ t 는 새 자료를 크기순으로 늘어놓은 것이다.(2), D1
(4)따라서 새 자료의 j 번째 순서값은 j ≤ n − 1 이면 x₍ⱼ₎ 그대로다.(3), D1
(5)1 ≤ m 의 양변에 m 을 더하면 m + 1 ≤ m + m = 2m = n − 1가정, A3, A2, N
(6)그러므로 새 자료의 중앙값은 x₍ₘ₊₁₎ 이고, 이는 원래 중앙값과 같다.(4), (5), D2
(7)자료 1, 2, 3, 4, 5 의 중앙값은 3 이고, 5 를 1005 로 바꾼 자료 1, 2, 3, 4, 1005 의 중앙값도 3 이다.(6), D2, N
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정리 T2
같은 조작에서 평균은 얼마든지 커진다.
증명.
(1)자료 1, 2, 3, 4, t 를 보자. 여기서 t 는 임의의 값이다.가정
(2)1 + 2 + 3 + 4 = 10 이므로 자료의 합은 10 + t 이다.(1), A1, N
(3)n = 5 이므로 평균 x̄ 는 5x̄ = 10 + t 를 만족한다.(2), A9, E
(4)t < t′ 이면 10 + t < 10 + t′A4
(5)0 < 5 이므로 5x̄ < 5x̄′ 와 x̄ < x̄′ 는 같은 말이다. 따라서 t < t′ 이면 x̄ < x̄′(3), (4), A8, A7
(6)t = 5 이면 x̄ = 3, t = 105 이면 x̄ = 23, t = 1005 이면 x̄ = 203 이다.(3), N
(7)그러므로 한 값만 바꾸어도 평균은 어떤 값보다도 커질 수 있다.(5), (6)
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정리 T3
n = 2m + 1 이라 하자. 큰 쪽 k 개를 각각 x₍ₙ₎ 이상의 값으로 바꿀 때, k ≤ m 이면 중앙값은 그대로이고 k = m + 1 이면 중앙값을 어떤 값보다도 크게 만들 수 있다.
증명.
(1)큰 쪽 k 개 x₍ₙ₋ₖ₊₁₎, …, x₍ₙ₎ 을 각각 x₍ₙ₎ 이상의 값으로 바꾼다.가정, D1
(2)바꾸지 않은 값은 x₍₁₎, …, x₍ₙ₋ₖ₎ 이고 모두 x₍ₙ₎ 이하이므로, 바꾼 값들은 이들보다 작지 않다.(1), D1, A5
(3)그러므로 새 자료의 j 번째 순서값은 j ≤ n − k 이면 x₍ⱼ₎ 그대로다.(2), D1
(4)k ≤ m 이라 하자. 양변에 m + 1 − k 를 더하면 m + 1 ≤ 2m + 1 − k = n − k가정, A3, A1, A2, N
(5)따라서 가운데 자리의 값은 x₍ₘ₊₁₎ 그대로이고 중앙값은 변하지 않는다.(3), (4), D2
(6)이제 k = m + 1 이라 하자. n − k = 2m + 1 − (m + 1) = m 이므로 바꾸지 않은 값은 m 개뿐이다.가정, N
(7)바꾼 m + 1 개를 모두 어떤 값 M 보다 크게 잡으면, 새 자료에서 M 이하인 값은 많아야 m 개다.(6), 가정
(8)그러므로 m + 1 번째 순서값은 M 보다 크고, 중앙값도 M 보다 크다.(7), D1, D2
(9)중앙값이 움직이려면 값이 얼마나 커지는가가 아니라 몇 개가 바뀌는가가 필요하며, 그 개수는 m + 1 이다.(5), (8)
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따름정리 C
평균은 값의 크기를 쓰고 중앙값은 순위를 쓴다. 흔들림의 차이는 여기서 나온다.
증명.
(1)평균은 n x̄ = Σxᵢ 로 정해지므로 모든 값을 크기 그대로 쓴다. 한 값이 커지면 합이 그만큼 커진다.A9, A4
(2)그래서 최댓값 하나만으로도 평균을 어떤 값보다 크게 만들 수 있다.(1), T2
(3)중앙값은 값이 아니라 자리 m + 1 을 쓴다. 큰 쪽 값들이 얼마가 되든 그 자리는 바뀌지 않는다.D1, D2, T1
(4)자리를 옮기려면 크기가 아니라 개수가 필요하고, 그 개수는 자료의 절반을 넘는 m + 1 이다.T3
(5)그러므로 중앙값이 흔들리지 않는 것은 자료를 덜 쓰기 때문이 아니라, 크기 대신 순서만 쓰기 때문이다.(2), (3), (4)
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
평균을 구하는 데 필요한 것과 중앙값을 구하는 데 필요한 것을 나누어 보라.