PROOF 168
증명하라.
평균과 중앙값과 최빈값이 갈라지는 조건
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자료를 크기순으로 늘어놓은 것을 x₍₁₎ ≤ ⋯ ≤ x₍ₙ₎ 이라 하고, n = 2m + 1 일 때 x₍ₘ₊₁₎ 을 중앙값이라 하여 Me 로 쓴다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u ≤ v 는 u < v 또는 u = v 를 뜻한다.약속
(2)삼분법과 추이성에 의해 이러한 늘어놓음이 존재하고, j 번째 자리의 값은 하나로 정해진다.A7, A8
(3)정렬은 자료를 늘어놓기만 한 것이므로 Σx₍ⱼ₎ = Σxᵢ 이다.(2), A1, A2
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정의 D2
값 v 와 같은 자료의 개수를 v 의 도수라 하고 f(v) 로 쓴다. f(v) 가 가장 큰 값 v 를 최빈값이라 한다.
증명.
이 정의는 최빈값이 하나뿐이라고 말하지 않는다. f 가 가장 큰 값이 여럿이면 최빈값도 여럿이다.약속
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정의 D3
어떤 c 에 대하여 모든 j 에서 x₍ⱼ₎ + x₍ₙ₊₁₋ⱼ₎ = 2c 가 성립하면 이 자료가 c 에 대해 대칭이라 한다.
증명.
이는 정렬한 자료를 양 끝에서 짝지었을 때 두 값의 합이 언제나 같다는 뜻이다.D1, 약속
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정리 T1
n = 2m + 1 이고 자료가 c 에 대해 대칭이면 x̄ = c 이고 Me = c 이다.
증명.
(1)가정에 의해 모든 j 에서 x₍ⱼ₎ + x₍ₙ₊₁₋ⱼ₎ = 2cA10, D3
(2)j = 1 부터 n 까지 이 식들을 모두 더하면 좌변은 Σx₍ⱼ₎ + Σx₍ₙ₊₁₋ⱼ₎ 이다.(1), A3
(3)j 가 1 부터 n 까지 움직일 때 n + 1 − j 도 1 부터 n 까지 한 번씩 움직이므로 Σx₍ₙ₊₁₋ⱼ₎ = Σx₍ⱼ₎A1, A2
(4)정렬은 늘어놓기만 한 것이므로 Σx₍ⱼ₎ = ΣxᵢD1
(5)우변을 모두 더하면 Σ2c = 2ncA4
(6)그러므로 2Σxᵢ = 2nc(2), (3), (4), (5), E
(7)2 를 소거하면 Σxᵢ = nc 이고, 평균의 정의에 의해 x̄ = c(6), A5, A6
(8)j = m + 1 이면 n + 1 − j = m + 1 이므로 (1) 은 2x₍ₘ₊₁₎ = 2c 가 된다.(1), N
(9)2 를 소거하면 x₍ₘ₊₁₎ = c 이고, 중앙값의 정의에 의해 Me = c(8), A5, D1
(10)그러므로 x̄ = Me = c(7), (9)
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정리 T2
대칭이 아닌 자료에서는 셋이 갈라질 수 있고, 평균은 홀로 떨어진 값 쪽에 놓인다.
증명.
(1)자료 1, 2, 2, 3, 92 를 보자. 합이 100 이고 n = 5 이므로 x̄ = 20A6, N
(2)정렬되어 있으므로 Me = 2 이고, 도수는 f(2) = 2 로 가장 크므로 최빈값도 2 이다.(1), D1, D2, N
(3)x₍₁₎ + x₍₅₎ = 93 이고 x₍₂₎ + x₍₄₎ = 5 이므로, 두 합이 같아야 한다는 조건이 깨진다. 이 자료는 어떤 c 에 대해서도 대칭이 아니다.(1), D3, N
(4)평균 20 은 중앙값 2 보다 크고, 홀로 떨어진 큰 값 92 쪽에 있다.(1), (2), N
(5)자료 8, 97, 98, 98, 99 를 보자. 합이 400 이므로 x̄ = 80 이고, Me = 98, 최빈값도 98 이다.A6, D1, D2, N
(6)여기서는 평균 80 이 중앙값 98 보다 작고, 홀로 떨어진 작은 값 8 쪽에 있다.(5), N
(7)평균은 Σxᵢ 를 통해 값의 크기를 그대로 쓰지만, 중앙값은 자리만, 최빈값은 도수만 쓴다.A6, D1, D2
(8)그러므로 한쪽으로 멀리 떨어진 값이 평균만 그쪽으로 옮기고, 갈라지는 방향은 자료가 어느 쪽으로 치우쳤는지가 정한다.(4), (6), (7)
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정리 T3
대칭이 아니면서 평균과 중앙값이 같은 자료가 존재한다.
증명.
(1)자료 0, 2, 4, 5, 9 를 보자. 합이 20 이고 n = 5 이므로 x̄ = 4A6, N
(2)정렬되어 있으므로 세 번째 값이 중앙값이고 Me = 4 이다. 즉 x̄ = Me(1), D1, N
(3)그러나 x₍₁₎ + x₍₅₎ = 9 이고 x₍₂₎ + x₍₄₎ = 7 이므로 이 자료는 대칭이 아니다.(1), D3, N
(4)그러므로 「평균과 중앙값이 같으면 자료는 대칭이다」는 거짓이다.(2), (3), A9
(5)평균과 중앙값이 같다는 것에서 대칭을 되읽을 수 없다.(4)
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정리 T4
최빈값은 하나의 수로 정해지지 않을 수 있다.
증명.
(1)자료 1, 1, 2, 2 에서 f(1) = 2, f(2) = 2 이고 이보다 큰 도수는 없다.D2, N
(2)그러므로 최빈값은 1 과 2 둘이다.(1), D2
(3)자료 0, 2, 4, 5, 9 에서는 모든 값의 도수가 1 이므로 다섯 값 모두가 최빈값이다.D2, N
(4)평균은 n x̄ = Σxᵢ 로 하나의 수로 정해지고, n 이 홀수일 때 중앙값도 자리 하나에서 정해진다.A6, D1
(5)그러나 최빈값은 값이 아니라 도수가 가장 큰 값들의 모임이며, 그 모임의 원소가 여럿일 수 있다.(2), (3), D2
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따름정리 C
셋이 갈라지는 조건은 대칭의 유무가 아니라, 셋이 자료에서 서로 다른 것을 읽는다는 데 있다.
증명.
(1)자료가 c 에 대해 대칭이면 평균과 중앙값은 c 하나로 모인다.T1
(2)대칭이 깨지면 갈라질 수 있고, 평균이 치우친 쪽으로 옮겨 간다.T2
(3)그러나 대칭이 아니어도 평균과 중앙값이 같아질 수 있으므로, 갈라짐을 대칭의 유무로 판정할 수 없다.T3
(4)최빈값은 애초에 하나의 수로 정해지지 않을 수 있으므로 셋을 같은 자격으로 견줄 수 없다.T4
(5)평균은 값의 크기를, 중앙값은 자리를, 최빈값은 도수를 읽는다. 서로 다른 것을 읽으므로 값이 갈라지는 것이 보통이고, 모이는 것이 특별한 일이다.(2), (3), (4), A6, D1, D2
(6)대칭은 셋을 모으는 한 가지 조건일 뿐, 갈라짐의 원인이 아니다.(1), (5)
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비고
A10 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
대칭을 쓰는 블록과 쓰지 않는 블록을 나누어 보라. 갈라짐을 보이는 데 대칭이 필요한지 확인하라.