PROOF 64
증명하라.
평균은 편차의 합을 0으로 만든다
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자료 x₁, …, xₙ (n ≥ 1) 에 대하여 n·c = x₁ + ⋯ + xₙ 을 만족하는 c 를 이 자료의 평균이라 하고 x̄ 로 쓴다.
증명.
(1)Σxᵢ 는 x₁ + ⋯ + xₙ 을, nc 는 c 를 n 번 더한 것을 뜻한다. u − v 는 u + (−v) 를 뜻한다.약속
(2)n 은 1 을 n 번 더한 수이므로 n × c = (1 + ⋯ + 1)c = c + ⋯ + c 이다. 그러므로 nc 는 곱으로 읽어도 같다.A5, A8, A6, A1
(3)n ≥ 1 이므로 n ≠ 0 이다.A11
(4)이 정의는 그러한 c 가 있는지, 하나뿐인지를 말하지 않는다. 둘 다 아래에서 증명한다.약속
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정의 D2
자료 xᵢ 와 기준값 c 의 차 xᵢ − c 를 c 에 대한 편차라 한다. 기준값이 평균일 때 이를 그냥 편차라 한다.
증명.
편차는 기준값을 정해야 정해진다. 기준을 바꾸면 편차도 바뀐다.약속
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보조정리 L1
모든 c 에 대하여 Σ(xᵢ − c) = Σxᵢ − nc
증명.
(1)xᵢ − c = xᵢ + (−c)D2, 약속
(2)Σ(xᵢ + (−c)) = Σxᵢ + n(−c)(1), A12
(3)n(−c) + nc 는 (−c) + c 를 n 번 더한 것이므로 0 이다.A1, A2, A4, A3
(4)양변에 −(nc) 를 더하면 n(−c) = −(nc)(3), E, A1, A2, A3, A4
(5)Σ(xᵢ − c) = Σxᵢ + (−(nc)) = Σxᵢ − nc(1), (2), (4)
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정리 T1
c 가 자료의 평균이면 Σ(xᵢ − c) = 0 이다. 즉 편차의 합은 0 이다.
증명.
(1)c 가 평균이라 하자. 즉 nc = Σxᵢ 이다.가정, D1
(2)Σ(xᵢ − c) = Σxᵢ − ncL1
(3) = Σxᵢ + (−Σxᵢ) = 0(1), (2), A4
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정리 T2
Σ(xᵢ − c) = 0 을 만족하는 c 는 자료의 평균이며, 그러한 c 는 많아야 하나다.
증명.
(1)Σ(xᵢ − c) = 0 이라 하자.가정
(2)Σxᵢ − nc = 0(1), L1
(3)양변에 nc 를 더하면 nc = Σxᵢ(2), E, A1, A2, A3, A4
(4)그러므로 c 는 평균이다.(3), D1
(5)c 와 c′ 이 모두 조건을 만족한다고 하자.가정
(6)nc = Σxᵢ = nc′(3), (5)
(7)n ≠ 0 이므로 c = c′(6), A11, A10
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따름정리 C
그러한 c 는 실제로 존재하며 x̄ = (x₁ + ⋯ + xₙ)n⁻¹ 이다.
증명.
(1)n ≠ 0 이므로 n⁻¹ 이 있고 n·n⁻¹ = 1A11, A9
(2)c = (Σxᵢ)n⁻¹ 로 둔다.(1)
(3)nc = n((Σxᵢ)n⁻¹) = (n·n⁻¹)Σxᵢ = 1 × Σxᵢ = Σxᵢ(2), A7, A8, (1), A6
(4)그러므로 c 는 평균이고, T2 에 의해 평균은 그것뿐이다.(3), D1, T2
(5)T1 에 의해 이 c 에서 편차의 합은 0 이며, T2 에 의해 편차의 합을 0 으로 만드는 값은 이것뿐이다.(4), T1, T2
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비고
A9 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
평균이 하나뿐이라는 것과 평균이 있다는 것은 서로 다른 주장이다. 어느 블록이 나눗셈에 기대는지 확인하라.