PROOF 90
증명하라.
동류항만 더할 수 있다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
문자 x 에 대한 항은 cx 꼴의 식이며, c 를 계수라 한다. 문자 부분이 같은 두 항을 동류항이라 한다.
증명.
(1)x 자체는 c = 1 인 항이다.약속, A2, A3
(2)3x 와 2y 는 문자 부분이 다르므로 동류항이 아니다.약속
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정리 T1
모든 a, b, x 에 대하여 ax + bx = (a + b)x
증명.
(1)(a + b)x = x(a + b)A2
(2)x(a + b) = xa + xbA1
(3)xa = ax, xb = bxA2
(4)(a + b)x = ax + bx(1), (2), (3)
(5)ax + bx = (a + b)x(4)
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정리 T2
x 와 y 를 서로 무관한 두 변수라 하면, 3x + 2y 를 하나의 항으로 쓰는 수 c 는 존재하지 않는다.
증명.
(1)모든 x, y 에 대하여 3x + 2y = cx 인 수 c 가 있다고 하자.가정
(2)x = 0, y = 1 에서도 성립한다.(1), A5
(3)3 × 0 = 0, 2 × 1 = 2A4, A3
(4)왼변 = 0 + 2 = 2(3), A6
(5)오른변 = c × 0 = 0A4
(6)2 = 0(2), (4), (5)
(7)2 ≠ 0 이므로 모순이다.(6), A7
(8)3x + 2y = cy 라 하고 x = 1, y = 0 을 넣으면 같은 방식으로 3 = 0 이 되어 모순이다.A3, A4, A5, A6, A7
(9)그러므로 3x + 2y 는 cx 꼴도 cy 꼴도 아니다.(7), (8), D1
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따름정리 C
「동류항만 더한다」는 분배법칙이 적용되는 범위 그 자체다.
증명.
(1)T1 의 증명은 A1 과 A2 만 쓴다.T1
(2)A1 을 그렇게 쓰려면 두 항이 공통 인수 x 를 가져야 한다.A1
(3)3x 와 2y 에는 그 공통 인수가 없고, T2 는 합칠 수 없음을 보였다.(2), T2
(4)동류항 덧셈은 새 규칙이 아니라 분배법칙의 따름이다.(1), (2), (3)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
합칠 수 있는 쪽과 합칠 수 없는 쪽이 함께 무너지는지 확인하라.