PROOF 92
증명하라.
항등식과 방정식은 다르다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
P(x) = Q(x) 가 모든 실수 x 에서 성립할 때 이 식을 항등식이라 한다.
증명.
(1)항등식은 하나의 주장이며, 그 주장의 범위는 실수 전체다.약속
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정의 D2
P(x) = Q(x) 를 성립하게 하는 x 를 찾는 물음으로 볼 때 이 식을 방정식이라 한다.
증명.
(1)방정식은 주장이 아니라 조건이며, 그 답은 해집합이다.약속
(2)두 이름은 식의 모양이 아니라 x 의 범위를 가리킨다.약속, D1
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정리 T1
P(x) = Q(x) 가 항등식이면 대응하는 계수가 모두 같다. 즉 P = aₙxⁿ + … + a₀, Q = bₙxⁿ + … + b₀ 일 때 모든 k 에 대하여 aₖ = bₖ 이다.
증명.
(1)두 다항식의 차수를 n 으로 맞추고, 없는 항의 계수는 0 으로 둔다.약속
(2)모든 실수 x 에서 P(x) = Q(x) 라 하자.가정, D1
(3)R = P − Q 로 두면 R 은 n 차 이하이고 그 계수는 aₖ − bₖ 이다.(1), A2
(4)각 실수 a 에서 P(a) = Q(a) 이다.(2), A4
(5)R(a) = P(a) − Q(a) = 0(3), (4), A3
(6)그러므로 모든 실수가 R 의 근이다.(5)
(7)서로 다른 실수는 n + 1 개보다 많다.A5
(8)R 의 모든 계수는 0 이다.(6), (7), A1
(9)aₖ − bₖ = 0 이므로 aₖ = bₖ(3), (8), A6
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정리 T2
2x + 1 = 7 은 항등식이 아니므로 T1 을 적용할 수 없다.
증명.
(1)x = 0 을 넣으면 1 = 7N
(2)1 ≠ 7 이므로 x = 0 에서 성립하지 않는다.(1), A7
(3)그러므로 이 식은 항등식이 아니다.(2), D1
(4)x = 3 을 넣으면 7 = 7N
(5)성립하는 x 가 있으므로 이 식은 방정식으로서 뜻을 가진다.(4), D2
(6)T1 의 전제가 (3) 에서 깨지므로 계수를 비교해 2 = 0 이라 쓸 수 없다.(3), T1
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따름정리 C
ax² + bx + c = 3x² − 5 가 항등식이면 a = 3, b = 0, c = −5
증명.
(1)모든 실수 x 에서 성립한다고 하자.가정, D1
(2)오른쪽을 3x² + 0x + (−5) 로 쓴다.약속
(3)a = 3, b = 0, c = −5(1), (2), T1
(4)세 등식을 x 를 하나씩 확인하지 않고 한 번에 얻었다.(3)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
계수를 비교하는 일이 「= 」에서 나오는지, 다른 곳에서 나오는지 확인하라.