PROOF 169
증명하라.
계급 폭을 바꾸면 모양이 달라진다
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
시작점 a 와 폭 h 를 정하고 Iⱼ = [ a + (j−1)h, a + jh ) 를 j 번째 계급이라 한다. 여기서 0 < h 이고 j 는 자료를 모두 덮을 만큼 잡는다.
증명.
(1)[u, v) 는 u ≤ x < v 인 x 들을 뜻한다. 왼쪽 끝은 넣고 오른쪽 끝은 넣지 않는다.약속
(2)0 < h 이므로 각 계급은 비어 있지 않고, 이웃한 계급은 서로 겹치지 않는다.A2, 약속
(3)그러므로 각 자료는 꼭 한 계급에 든다.(2), A1
(4)a 와 h 는 자료가 아니라 세는 사람이 정한다. 자료는 두 수 가운데 어느 것도 지목하지 않는다.약속
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정의 D2
계급 Iⱼ 에 든 자료의 개수를 fⱼ 라 하고, (f₁, f₂, …, f_k) 를 도수열이라 한다.
증명.
(1)각 자료가 꼭 한 계급에 드므로 f₁ + f₂ + ⋯ + f_k = n 이다.D1, A1
(2)이 등식은 a 와 h 를 어떻게 고르든 성립한다.(1), D1
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정의 D3
도수열에서 왼쪽 이웃보다 크고 오른쪽 이웃보다 큰 자리를 봉우리라 한다. 양 끝에서는 있는 쪽 이웃만 본다. 봉우리가 하나면 단봉, 둘 이상이면 이봉이라 한다.
증명.
봉우리는 도수열에서만 읽히는 것이며 자료에서 곧바로 읽히는 것이 아니다.D2, 약속
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정리 T1
자료 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7 (n = 14) 을 a = 0, h = 2 로 세면 도수열은 (2, 6, 1, 5) 이고 봉우리가 둘이다.
증명.
(1)계급은 [0,2), [2,4), [4,6), [6,8) 이다.가정, D1
(2)[0,2) 에 드는 자료는 0, 1 이므로 f₁ = 2(1), D2, N
(3)[2,4) 에 드는 자료는 2, 2, 2, 3, 3, 3 이므로 f₂ = 6(1), D2, N
(4)[4,6) 에 드는 자료는 5 하나이므로 f₃ = 1(1), D2, N
(5)[6,8) 에 드는 자료는 6, 6, 7, 7, 7 이므로 f₄ = 5(1), D2, N
(6)2 + 6 + 1 + 5 = 14 이므로 총합은 n 과 같다.(2), (3), (4), (5), D2, N
(7)f₁ = 2 < 6 = f₂ 이고 f₂ = 6 > 1 = f₃ 이므로 두 번째 자리는 봉우리다.(2), (3), (4), D3, N
(8)f₃ = 1 < 5 = f₄ 이고 f₄ 는 마지막 자리이므로 네 번째 자리도 봉우리다.(4), (5), D3, N
(9)첫 자리와 세 번째 자리는 오른쪽 이웃보다 작으므로 봉우리가 아니다. 봉우리는 둘이고 도수열은 이봉이다.(7), (8), D3, N
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정리 T2
같은 자료를 다른 계급으로 세면 단봉이 된다.
증명.
(1)같은 자료를 a = 0, h = 4 로 다시 센다.K, D1
(2)계급은 [0,4), [4,8) 이고 각각 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 과 5, 6, 6, 7, 7, 7 이 든다.(1), D1, N
(3)따라서 도수열은 (8, 6) 이고 8 + 6 = 14 이다.(2), D2, N
(4)f₁ = 8 > 6 = f₂ 이고 f₁ 은 첫 자리이므로 봉우리는 첫 자리 하나뿐이다. 단봉이다.(3), D3, N
(5)이번에는 폭을 그대로 두고 시작점만 옮겨 a = −1, h = 2 로 센다.K, D1
(6)계급은 [−1,1), [1,3), [3,5), [5,7), [7,9) 이고 각각 0 / 1, 2, 2, 2 / 3, 3, 3 / 5, 6, 6 / 7, 7, 7 이 든다.(5), D1, N
(7)따라서 도수열은 (1, 4, 3, 3, 3) 이고 1 + 4 + 3 + 3 + 3 = 14 이다.(6), D2, N
(8)1 < 4 이고 4 > 3 이므로 두 번째 자리가 봉우리다. 마지막 자리는 왼쪽 이웃과 같은 3 이므로 봉우리가 아니고, 나머지 자리도 아니다. 단봉이다.(7), D3, N
(9)폭을 바꾸어도, 폭을 그대로 두고 시작점만 옮겨도 봉우리의 개수가 둘에서 하나로 바뀐다.(4), (8), T1
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정리 T3
자료는 도수분포의 모양을 정하지 않는다.
증명.
(1)「자료가 정해지면 봉우리의 개수가 정해진다」라는 명제를 보자.D3
(2)한 자료에서 봉우리가 둘인 셈과 하나인 셈이 모두 나왔다.T1, T2
(3)그러므로 그 명제는 이 자료 하나로 거짓이 된다.(1), (2), A3
(4)모양이 정해지려면 자료 말고도 a 와 h 가 있어야 하며, 이 둘은 자료 밖에서 온다.(3), D1
(5)그러므로 히스토그램에서 읽은 봉우리의 개수는 자료의 성질이 아니라 자료와 계급 선택이 함께 만든 것이다.(4), D3
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따름정리 C
자료가 정하는 것은 도수의 총합이고, 모양은 정하지 않는다.
증명.
(1)어떤 a 와 h 를 골라도 도수의 총합은 n = 14 로 같다.D2, A1
(2)실제로 (2,6,1,5) 와 (8,6) 과 (1,4,3,3,3) 의 총합은 모두 14 이다.T1, T2, N
(3)그러나 봉우리의 개수는 둘이기도 하고 하나이기도 하다.T1, T2
(4)그러므로 히스토그램을 보고 「이 자료는 두 무리로 갈린다」고 말하려면, 계급을 어떻게 골랐는지를 함께 말해야 한다.(3), T3
(5)계급을 좁게 잡으면 봉우리가 늘고 넓게 잡으면 줄어드는 것은 자료가 달라져서가 아니라 세는 자가 달라져서다.(1), (4), D1
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비고
K 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
한 계급에서 세는 일과 다른 계급으로 다시 세는 일을 나누어 보라.