PROOF 127
증명하라.
지수함수는 항상 양수다
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a¹ = a 로 두고, 자연수 n 에 대하여 aⁿ⁺¹ = aⁿ · a 로 정한다.
증명.
이 두 줄로 모든 자연수 n 에서 aⁿ 이 정해진다.약속
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정의 D2
a⁰ = 1 로 정한다.
증명.
0 지수의 값은 이렇게 약속한다.약속
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정의 D3
자연수 n 에 대하여 a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹ 로 정한다.
증명.
이 약속이 뜻을 가지려면 aⁿ ≠ 0 이어야 한다. 그것은 L1 에서 함께 얻는다.약속
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정의 D4
정수 m 과 자연수 n 에 대하여, a^(m/n) 은 tⁿ = aᵐ 을 만족하는 t > 0 을 뜻한다.
증명.
그러한 t 가 존재하고 하나뿐인지는 T2 에서 확인한다.약속
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보조정리 L1
모든 자연수 n 에 대하여 0 < aⁿ
증명.
(1)n = 1 일 때 a¹ = a 이고 0 < a 이다.D1, A1
(2)어떤 자연수 n 에서 0 < aⁿ 이라 하자.가정
(3)0 < a 이고 0 < aⁿ 이므로 0 < aⁿ·a(2), A1, A2
(4)aⁿ⁺¹ = aⁿ·a 이므로 0 < aⁿ⁺¹(3), D1
(5)귀납법에 따라 모든 자연수 n 에서 0 < aⁿ(1), (4), A9
(6)삼분법에 따라 aⁿ ≠ 0 이므로 D3 의 약속이 뜻을 갖는다.(5), A7, D3
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보조정리 L2
0 < u 이면 0 < u⁻¹
증명.
(1)0 < u 이므로 삼분법에 따라 u ≠ 0 이고, u·u⁻¹ = 1 이다.가정, A7, A5
(2)u⁻¹ = 0 이라면 u·u⁻¹ = 0 이 되어 0 < 1 에 어긋난다.(1), A6, A3, A7
(3)u⁻¹ < 0 이라 하자. 0 < u 이므로 u⁻¹·u < 0가정, A4
(4)u⁻¹·u = u·u⁻¹ = 1 이므로 1 < 0 이 되어 0 < 1 에 어긋난다.(1), (3), A10, A3, A7
(5)삼분법에 따라 남는 것은 0 < u⁻¹ 뿐이다.(2), (4), A7
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정리 T1
n 이 정수이면 0 < aⁿ
증명.
(1)n 이 자연수이면 0 < aⁿ 이다.L1
(2)n = 0 이면 a⁰ = 1 이고 0 < 1 이다.D2, A3
(3)n 이 음의 정수이면 n = −m 인 자연수 m 이 있고, a⁻ᵐ = (aᵐ)⁻¹ 이다.D3
(4)0 < aᵐ 이므로 0 < (aᵐ)⁻¹(3), L1, L2
(5)세 경우가 정수 전체를 덮으므로 모든 정수 n 에서 0 < aⁿ 이다.(1), (2), (4)
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정리 T2
정수 m 과 자연수 n 에 대하여 a^(m/n) 이 존재하고 하나뿐이며, 0 < a^(m/n)
증명.
(1)m 은 정수이므로 0 < aᵐ 이다.T1
(2)tⁿ = aᵐ 을 만족하는 t > 0 이 유일하게 존재한다.(1), A8
(3)D4 에 따라 a^(m/n) 은 그 t 이고, t > 0 이다.(2), D4
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따름정리 C
유리수 지수에서 a^(m/n) 은 0 이 아니고 0 보다 작지도 않다. 그러므로 그래프는 x축과 만나지 않고 그 아래로도 가지 않는다.
증명.
(1)0 < a^(m/n)T2
(2)삼분법에 따라 a^(m/n) = 0 과 a^(m/n) < 0 은 함께 성립할 수 없다.(1), A7
(3)그래프 위의 점의 y좌표는 언제나 양수다.(1), (2)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
네 경우를 따로 보라. 어느 경우가 어느 공리 위에 서 있는지 확인하면 무엇이 무너질지 보인다.