PROOF 73
증명하라.
소수점 이동은 10배와 1/10배다
자리값 표기 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자리값 표기 aₘ…a₁a₀.a₋₁…a₋ₙ 은 aₘ·10ᵐ + … + a₀·10⁰ + a₋₁·10⁻¹ + … + a₋ₙ·10⁻ⁿ 을 뜻한다.
증명.
(1)aₖ 는 0 부터 9 까지의 정수이고, k 는 그 숫자가 놓인 자리다.약속
(2)10⁰ = 1 이고 10¹ = 10 이다.약속
(3)k < 0 인 자리의 10ᵏ 은 10⁻ᵏ 의 곱셈 역원이고, A2 가 그 존재를 보장한다.A2
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정의 D2
b 가 곱셈 역원을 가질 때 a/b 는 a · b⁻¹ 를 뜻한다.
증명.
1/10 배라는 말이 무엇을 뜻하는지 이 정의가 정한다.약속
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보조정리 L1
10 × 10⁻¹ = 1. 즉 10⁻¹ 은 10 의 곱셈 역원이다.
증명.
(1)10 × 10⁻¹ = 10¹ · 10⁻¹D1
(2) = 10⁰A1
(3) = 1(2), D1
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정리 T1
10x = aₘ·10ᵐ⁺¹ + … + a₋ₙ·10⁻ⁿ⁺¹. 모든 숫자가 한 자리씩 올라간다.
증명.
(1)x = Σ aₖ·10ᵏD1
(2)10x = Σ 10(aₖ·10ᵏ)(1), A3, E
(3)10(aₖ·10ᵏ) = aₖ(10 · 10ᵏ)A4, A5
(4)10 · 10ᵏ = 10¹ · 10ᵏ = 10ᵏ⁺¹D1, A1
(5)10x = Σ aₖ·10ᵏ⁺¹(2), (3), (4), E
(6)자리 k 에 있던 숫자 aₖ 가 자리 k+1 로 간다. 숫자들의 순서는 그대로다.(5), D1
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정리 T2
10⁻¹x = aₘ·10ᵐ⁻¹ + … + a₋ₙ·10⁻ⁿ⁻¹. 모든 숫자가 한 자리씩 내려간다.
증명.
(1)10⁻¹x = Σ 10⁻¹(aₖ·10ᵏ)D1, A3, E
(2)10⁻¹(aₖ·10ᵏ) = aₖ(10⁻¹ · 10ᵏ)A4, A5
(3)10⁻¹ · 10ᵏ = 10ᵏ⁻¹A1
(4)10⁻¹x = Σ aₖ·10ᵏ⁻¹(1), (2), (3), E
(5)자리 k 에 있던 숫자 aₖ 가 자리 k−1 로 간다.(4), D1
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따름정리 C
소수점을 오른쪽으로 한 칸 옮긴 수는 10x 이고, 왼쪽으로 한 칸 옮긴 수는 x 의 1/10 배다.
증명.
(1)숫자를 모두 한 자리 올린 표기는 소수점을 오른쪽으로 한 칸 옮긴 표기와 같고, 그 값은 10x 다.T1
(2)1/10 = 1 × 10⁻¹ = 10⁻¹D2, L1, A6
(3)숫자를 모두 한 자리 내린 표기의 값은 10⁻¹x, 즉 x 의 1/10 배다.T2, (2)
(4)j 칸이면 같은 논증이 10ʲ 과 10⁻ʲ 을 준다.T1, T2, A1
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
소수점을 옮기는 일이 표기의 규칙인지 지수의 성질인지 확인하라.