PROOF 74
증명하라.
소수 곱셈에서 소수점 자리는 더해진다
유리수 ℚ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
소수점 아래 m 자리 소수는 A · 10⁻ᵐ 로 쓸 수 있는 수다. A 는 정수다.
증명.
(1)10⁻ᵐ 은 10ᵐ 의 곱셈 역원이고, A2 가 그 존재를 보장한다.A2
(2)자릿수가 정확히 m 이라는 것은 A 가 10 의 배수가 아니라는 뜻이다.약속
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정리 T1
a 가 소수점 아래 m 자리, b 가 n 자리 소수이면 ab = (AB)·10⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾ 이고 AB 는 정수다.
증명.
(1)a = A·10⁻ᵐ, b = B·10⁻ⁿ. A 와 B 는 정수다.D1
(2)ab = (A·10⁻ᵐ)(B·10⁻ⁿ)(1), E
(3) = (AB)(10⁻ᵐ · 10⁻ⁿ)A3, A4
(4) = (AB)·10⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾A1
(5)AB 는 정수다.A5
(6)그러므로 ab 는 소수점 아래 m+n 자리로 쓸 수 있다.(4), (5), D1
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따름정리 C
AB 가 10 의 배수이면 소수점 아래 자릿수는 m+n 보다 작다.
증명.
(1)AB = 10C 인 정수 C 가 있다고 하자.가정
(2)ab = (10C)·10⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾T1, (1), E
(3) = C(10 · 10⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾)A3, A4
(4) = C·10⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁻¹⁾A1
(5)ab 는 소수점 아래 m+n−1 자리로 쓸 수 있다.(4), A5, D1
(6)예. a = 0.5, b = 0.2 이면 A = 5, B = 2, AB = 10 이고 0.5 × 0.2 = 0.10 = 0.1 이다.(5)
(7)A 와 B 가 모두 10 의 배수가 아니어도 AB 는 10 의 배수일 수 있다. T1 이 주는 것은 자릿수가 m+n 이하라는 것이다.T1, (1), (5)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
소수점 자리를 세어 더하는 규칙이 곱셈에서 오는지 지수에서 오는지 확인하라.