PROOF 67
증명하라.
상관은 인과가 아니다
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자료 쌍 (x₁,y₁), …, (xₙ,yₙ) 에 대하여 dᵢ = xᵢ − x̄, eᵢ = yᵢ − ȳ 라 하고 A = Σdᵢ², B = Σeᵢ², P = Σdᵢeᵢ 로 둔다. 0 < A 이고 0 < B 일 때 r = P·(√(AB))⁻¹ 을 상관계수라 한다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u − v 는 u + (−v) 를, u ≤ v 는 u < v 또는 u = v 를 뜻한다.약속
(2)0 < A 이고 0 < B 이므로 0 < AB가정, A8
(3)그러므로 √(AB) 가 존재하고 0 < √(AB), (√(AB))² = AB(2), A15
(4)0 < A 는 자료 x 가 상수가 아니라는 뜻이다. 상수 자료에서는 상관계수가 정의되지 않는다.약속
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정의 D2
자료를 만든 규칙에서 x 를 정하는 자리만 다른 값으로 바꾸는 것을 x 에 대한 개입이라 한다. 나머지를 고정한 채 x 에 개입했을 때 y 의 값이 바뀌면 x 는 y 의 원인이라 한다.
증명.
개입은 관측이 아니라 규칙을 바꾸는 것이다. 같은 자료가 서로 다른 규칙에서 나올 수 있다.약속
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보조정리 L1
P² ≤ AB
증명.
(1)모든 t 에 대하여 q(t) = Σ(dᵢt + eᵢ)² 로 둔다. 각 항이 제곱이므로 0 ≤ q(t)A2, A3
(2)(dᵢt + eᵢ)² = dᵢ²t² + 2dᵢeᵢt + eᵢ²A12, A17, A18
(3)q(t) = A t² + 2P t + B(2), A13, A14
(4)0 < A 이므로 q 의 최솟값은 B − (2P)²(4A)⁻¹ = B − P²A⁻¹ 이다.D1, A1, A17, A18, A16, A19, E
(5)0 ≤ q(t) 가 모든 t 에서 성립하므로 최솟값도 0 이상이다. 즉 0 ≤ B − P²A⁻¹(1), (4)
(6)양변에 P²A⁻¹ 를 더하면 P²A⁻¹ ≤ B(5), A4, A22, A23, A24, A25
(7)0 < A 이므로 양변에 A 를 곱하면 P² = A(P²A⁻¹) ≤ AB(6), D1, A6, A17, A18, A16, A19
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정리 T1
−1 ≤ r ≤ 1
증명.
(1)r² = P²·((√(AB))⁻¹)² = P²(AB)⁻¹D1, A15, A16, A17, A18, E
(2)P² ≤ AB 이고 0 < AB 이므로 양변에 (AB)⁻¹ 을 곱하면 r² ≤ 1L1, D1, A6, A16, A17, A18, A19
(3)1 < r 이거나 r < −1 이라 하자.가정
(4)r < −1 이면 양변에 −r 을 더해 0 < −r − 1 이고, 다시 1 을 더해 1 < −r 이다. s = −r 로 두면 s² = r² 이다.(3), A5, A22, A23, A24, A25, A20
(5)1 < r 이면 s = r 로 둔다. 어느 경우든 1 < s 이고 s² = r² 이다.(3), (4)
(6)0 < 1 < s 이므로 0 < s 이고, 1 < s 의 양변에 s 를 곱하면 s = s×1 < s×s = s²(5), A11, A9, A7, A18, A19
(7)추이성에 의해 1 < s² = r²(5), (6), A9
(8)그런데 (2) 에서 r² ≤ 1 이므로 삼분법에 모순이다.(2), (7), A10
(9)그러므로 1 < r 도 r < −1 도 아니며, −1 ≤ r ≤ 1(8), A10
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정리 T2
r = 1 이면서 x 가 y 의 원인이 아닌 자료가 존재한다.
증명.
(1)z 가 1, 2, 3, 4, 5 를 취하고 x = z, y = 2z 로 정해지는 규칙을 보자.가정, D2
(2)관측되는 자료는 (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10) 이다.(1), N
(3)x̄ = 3, ȳ = 6 이고 dᵢ = −2, −1, 0, 1, 2, eᵢ = −4, −2, 0, 2, 4(2), D1, N
(4)P = 8 + 2 + 0 + 2 + 8 = 20, A = 10, B = 40(3), D1, N
(5)AB = 400 이고 √400 = 20 이므로 r = 20 × 20⁻¹ = 1(4), D1, A15, A16, N
(6)이제 z = 3 으로 고정한다. 규칙에 의해 y = 2 × 3 = 6(1), N
(7)x 를 정하는 자리를 3 대신 7 로 바꾸어도 y 는 2z = 6 그대로다.(1), (6), D2, N
(8)나머지를 고정한 채 x 에 개입해도 y 가 바뀌지 않으므로 x 는 y 의 원인이 아니다.(7), D2
(9)r = 1 이면서 x 가 y 의 원인이 아닌 자료가 있다.(5), (8)
(10)「r 이 1 에 가까우면 x 는 y 의 원인이다」라는 명제는 이 하나로 거짓이 된다.(9), A21
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따름정리 C
같은 자료와 같은 r 이 서로 다른 인과에서 나온다.
증명.
(1)T2 의 규칙에서는 r = 1 이고 x 는 y 의 원인이 아니다.T2
(2)다른 규칙을 보자. x 를 1, 2, 3, 4, 5 로 직접 정하고 y = 2x 로 정한다.D2
(3)이 규칙이 내놓는 자료는 (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10) 으로 T2 와 같고, 따라서 r = 1 이다.(2), T2, N
(4)그러나 x 를 3 대신 7 로 바꾸면 y = 14 로 바뀌므로 x 는 y 의 원인이다.(2), D2, N
(5)두 규칙은 같은 자료와 같은 r 을 주지만 인과가 다르다.(1), (3), (4)
(6)자료는 규칙을 결정하지 않는다. 그러므로 자료와 r 만으로는 인과를 정할 수 없다.(5), D2
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
부등식이 무너지는 것과 반례가 무너지는 것은 다른 일이다. 어느 블록이 A1 에 기대는지 확인하라.