PROOF 172
증명하라.
상관계수는 −1과 1 사이다
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
수열 a₁, …, aₙ 과 b₁, …, bₙ 에 대하여 A = Σaᵢ², B = Σbᵢ², P = Σaᵢbᵢ 로 둔다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u − v 는 u + (−v) 를, u ≤ v 는 u < v 또는 u = v 를 뜻한다.약속
(2)A 와 B 는 제곱의 합이므로 0 이상이다.A13, A19
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정의 D2
자료 쌍 (xᵢ, yᵢ) 에 대하여 dᵢ = xᵢ − x̄, eᵢ = yᵢ − ȳ 라 하고 aᵢ = dᵢ, bᵢ = eᵢ 로 둔다. 0 < A 이고 0 < B 일 때 r = P(√(AB))⁻¹ 을 상관계수라 한다.
증명.
(1)0 < A 이고 0 < B 이므로 0 < AB가정, A21
(2)그러므로 √(AB) 가 있고 0 < √(AB), (√(AB))² = AB 이며 (√(AB))⁻¹ 도 있다.(1), A28, A9, A23
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보조정리 L1
q(t) = Σ(aᵢt + bᵢ)² 로 두면 q(t) = A t² + 2P t + B 이고 모든 t 에서 0 ≤ q(t) 이다.
증명.
(1)(aᵢt + bᵢ)² = aᵢ²t² + 2(aᵢbᵢ)t + bᵢ²A10, A6, A7
(2)모두 더하면 q(t) = Σ(aᵢ²t²) + Σ(2(aᵢbᵢ)t) + Σbᵢ²(1), A11
(3)Σ(aᵢ²t²) = t²Σaᵢ² = A t² 이고 Σ(2(aᵢbᵢ)t) = 2t Σaᵢbᵢ = 2P tA12, A6, A7, D1
(4)그러므로 q(t) = A t² + 2P t + B(2), (3), D1
(5)각 항 (aᵢt + bᵢ)² 은 0 이상이고, 0 이상인 것들의 합은 0 이상이므로 0 ≤ q(t)A13, A19
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정리 T1
0 < A 이면 P² ≤ AB
증명.
(1)D = (2P)² − 4AB 로 둔다.약속
(2)0 < D 라 하자.가정
(3)0 < A 이고 0 < D 이므로 α < β 인 α, β 가 있어 q(t) = A(t − α)(t − β)가정, (2), L1, A16
(4)조밀성에 의해 α < t₁ < β 인 t₁ 이 있다.(3), A25
(5)양변에 −α 와 −β 를 각각 더하면 0 < t₁ − α 이고 t₁ − β < 0(4), A18, A1, A2, A3, A4
(6)0 < A 이고 0 < t₁ − α 이므로 0 < A(t₁ − α)가정, (5), A21
(7)t₁ − β < 0 이므로 q(t₁) = A(t₁ − α)(t₁ − β) < 0(3), (5), (6), A22, A6
(8)그런데 L1 에 의해 0 ≤ q(t₁) 이므로 삼분법에 모순이다.(7), L1, A23
(9)그러므로 0 < D 가 아니고 D ≤ 0(8), A23
(10)(2P)² = 4P² 이므로 4P² − 4AB ≤ 0 이고, 양변에 4AB 를 더하면 4P² ≤ 4AB(1), (9), A10, A6, A7, A17, A1, A2, A3, A4, N
(11)0 < 1 에 1 을 차례로 더하면 0 < 4 이므로, 4 를 소거하여 P² ≤ AB(10), A26, A18, A24, A20
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정리 T2
0 < A 라 하자. P² = AB 인 것과, 모든 i 에 대하여 bᵢ = k aᵢ 를 만족하는 k 가 있는 것은 같다.
증명.
(1)먼저 P² = AB 라 하자.가정
(2)0 < A 이므로 A ≠ 0 이고 A⁻¹ 이 있다. t₀ = −(P A⁻¹) 으로 둔다.가정, A23, A9
(3)q(t₀) = A t₀² + 2P t₀ + B = P²A⁻¹ − 2P²A⁻¹ + B = B − P²A⁻¹L1, (2), A6, A7, A8, A9, A30, A32, A1, A2, A3, A4
(4)P² = AB 이므로 P²A⁻¹ = (AB)A⁻¹ = B 이고, 따라서 q(t₀) = B − B = 0(1), (3), A6, A7, A9, A8, A4
(5)q(t₀) = Σ(aᵢt₀ + bᵢ)² 이고 각 항은 0 이상이다.L1, A13
(6)0 이상인 항들의 합이 0 이므로 모든 항이 0 이다.(4), (5), A15
(7)0 이 아닌 것의 제곱은 양이므로, 삼분법에 의해 aᵢt₀ + bᵢ = 0(6), A14, A23
(8)양변에 −(aᵢt₀) 를 더하면 bᵢ = (−t₀)aᵢ 이므로, k = −t₀ = P A⁻¹ 로 두면 된다.(7), (2), A1, A2, A3, A4, A32, A7
(9)거꾸로 모든 i 에 대하여 bᵢ = k aᵢ 라 하자.가정
(10)P = Σaᵢ(k aᵢ) = k Σaᵢ² = kA(9), D1, A6, A7, A12
(11)B = Σ(k aᵢ)² = k² Σaᵢ² = k²A(9), D1, A6, A7, A12
(12)P² = (kA)² = k²A² = A(k²A) = AB(10), (11), A6, A7
(13)그러므로 두 조건은 같다.(8), (12)
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정리 T3
0 < A 이고 0 < B 이면 −1 ≤ r ≤ 1
증명.
(1)r = P(√(AB))⁻¹ 이고 (√(AB))² = AB 이므로 r² = P²(AB)⁻¹D2, A6, A7, A9, A28
(2)T1 에 의해 P² ≤ AB 이고, 0 < AB 이므로 0 < (AB)⁻¹T1, D2, A27
(3)양변에 (AB)⁻¹ 을 곱하면 r² = P²(AB)⁻¹ ≤ (AB)(AB)⁻¹ = 1(1), (2), A20, A9
(4)양변에 −r² 를 더하면 0 ≤ 1 − r² 이고, (1 − r)(1 + r) = 1 − r² 이므로 0 ≤ (1 − r)(1 + r)(3), A17, A5, A7, A10, A1, A2, A3, A4
(5)1 < r 이라 하자. 양변에 −r 을 더하면 1 − r < 0가정, A18, A1, A2, A3, A4
(6)0 < 1 이고 1 < r 이므로 0 < r 이고, 양변에 1 을 더하면 1 < 1 + r 이므로 0 < 1 + r(5), A26, A24, A18, A2, A3
(7)그러면 (1 − r)(1 + r) < 0 이 되어 (4) 에 모순이다.(4), (5), (6), A22, A7, A23
(8)r < −1 이라 하자. 양변에 1 을 더하면 1 + r < 0가정, A18, A2, A3, A4
(9)또 양변에 −r 을 더하면 0 < −1 − r 이고, 0 < 2 이므로 2 < 2 + (−1 − r) = 1 − r 이며 따라서 0 < 1 − r(8), A18, A26, A24, A1, A2, A3, A4
(10)그러면 (1 − r)(1 + r) < 0 이 되어 다시 (4) 에 모순이다.(4), (8), (9), A22, A7, A23
(11)삼분법에 의해 1 < r 도 r < −1 도 아니므로 −1 ≤ r ≤ 1(7), (10), A23
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따름정리 C
r = 1 또는 r = −1 인 것과, 모든 점이 한 직선 위에 놓이는 것은 같다.
증명.
(1)r² = P²(AB)⁻¹ 이므로 r² = 1 인 것과 P² = AB 인 것은 같다.D2, A28, A9, A6, A7, E
(2)r² = 1 이면 (r − 1)(r + 1) = r² − 1 = 0 이므로 r = 1 또는 r = −1(1), A5, A10, A1, A2, A3, A4, A31
(3)거꾸로 r = 1 또는 r = −1 이면 r² = 1 이다.A30, A8, N
(4)그러므로 r = ±1 인 것과 P² = AB 인 것은 같고, T2 에 의해 이는 eᵢ = k dᵢ 인 k 가 있는 것과 같다.(1), (2), (3), T2
(5)eᵢ = k dᵢ 는 yᵢ − ȳ = k(xᵢ − x̄), 곧 yᵢ = k xᵢ + (ȳ − k x̄) 이므로 모든 점이 한 직선 위에 있다.(4), D2, A5, A32, A1, A2, A3, A4
(6)B = k²A 이고 0 < B 이므로 k ≠ 0 이다. 곧 이 직선은 가로선이 아니다.T2, D2, A23
(7)0 < k 이면 0 < kA 이고 AB = (kA)² 이므로 √(AB) = kA 이며 r = kA(kA)⁻¹ = 1(6), T2, A21, A29, A9, A6, A7
(8)k < 0 이면 kA < 0 이고 (kA)² = (−(kA))² 이므로 √(AB) = −(kA) 이며 r = kA(−(kA))⁻¹ = −1(6), T2, A22, A30, A29, A9, A32, A8
(9)자료 x = 1, 2, 3, 4, 5 와 y = 7, 5, 3, 1, −1 을 보자. x̄ = 3, ȳ = 3 이므로 dᵢ = −2, −1, 0, 1, 2 이고 eᵢ = 4, 2, 0, −2, −4 이다.D2, N
(10)A = 10, B = 40, P = −20 이므로 P² = 400 = AB 이고, √400 = 20 이므로 r = −20 × 20⁻¹ = −1(9), D1, D2, A28, A9, N
(11)실제로 eᵢ = −2dᵢ 이고 yᵢ = −2xᵢ + 9 이므로 다섯 점이 한 직선 위에 있다.(9), N
(12)자료 y = 1, 2, 3, 5, 4 로 바꾸면 eᵢ = −2, −1, 0, 2, 1 이고 A = 10, B = 10, P = 9 이므로 P² = 81 < 100 = ABD1, D2, N
(13)여기서는 네 번째 점이 k = 2 를, 다섯 번째 점이 k = 0.5 를 요구하므로 eᵢ = k dᵢ 인 k 가 없고 등호가 서지 않는다.(12), T2, N
(14)그러므로 −1 ≤ r ≤ 1 은 부등식이 주는 것이고, 양 끝값 ±1 은 등호 조건이 주는 것이다. |r| = 1 은 관계가 가장 세다는 뜻이 아니라 자료가 정확히 한 직선 위에 있다는 뜻이다.T3, (5), (10), (13)
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비고
A15 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
부등식이 성립하는 것과 등호가 서는 조건은 같은 층에 있지 않다. 어느 블록이 A15 에 기대는지 확인하라.