PROOF 145
증명하라.
평행선의 엇각과 동위각은 같다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
서로 다른 두 직선 ℓ, m 을 직선 t 가 각각 P, Q 에서 자른다. ℓ 위에 P 를 사이에 둔 두 점 A, A′ 를, m 위에 Q 를 사이에 둔 두 점 B, B′ 를, t 위에 P 가 S 와 Q 사이에 오도록 점 S 를 잡되, A 와 B 가 직선 t 의 반대쪽에 오도록 이름을 붙인다.
증명.
(1)t 는 ℓ 과도 m 과도 다르며, 두 점에서 만나면 두 점을 지나는 직선이 둘이 되므로 ℓ 과는 P 에서만, m 과는 Q 에서만 만난다.가정, A5
(2)A, A′, B, B′, S 를 위와 같이 잡을 수 있다.A6
(3)선분 AA′ 는 t 를 P 에서 지나므로 A 와 A′ 는 t 의 반대쪽에 있고, 같은 이유로 B 와 B′ 도 그러하다.(1), (2), A3
(4)∠APQ 와 ∠PQB 를 엇각이라 한다. 두 직선 사이에 놓이며 t 의 반대쪽에 있는 두 각이다.(3), 약속
(5)∠SPA 와 ∠PQB′ 를 동위각이라 한다. t 의 같은 쪽에 놓이며 하나는 두 직선 바깥, 하나는 사이에 있다.(3), 약속
(6)∠APQ 와 ∠PQB′ 를 동측내각이라 한다. 두 직선 사이에 놓이며 t 의 같은 쪽에 있는 두 각이다.(3), 약속
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보조정리 L1
다음 세 조건은 서로 동치이다. 엇각이 같다. 동위각이 같다. 동측내각의 합이 180° 이다. 이 동치는 ℓ 과 m 의 평행 여부와 무관하다.
증명.
(1)t 는 ℓ 과 P 에서만 만나므로 Q 는 ℓ 위에 없고, m 과 Q 에서만 만나므로 P 는 m 위에 없다.D1
(2)그러므로 반직선 PQ 는 평각 ∠APA′ 의 내부에, 반직선 QP 는 평각 ∠BQB′ 의 내부에 있다.(1), A4
(3)∠APQ + ∠QPA′ = ∠APA′ = 180°(2), D1, A2, A1
(4)∠PQB + ∠PQB′ = ∠BQB′ = 180°(2), D1, A2, A1
(5)반직선 PS 와 반직선 PQ 가 서로 반대이고 반직선 PA 와 반직선 PA′ 도 그러하므로, ∠SPA 와 ∠QPA′ 는 맞꼭지각이다. 따라서 ∠SPA = ∠QPA′D1, A8
(6)∠APQ = ∠PQB 라 하자.가정
(7)(3)(4) 를 뒤집어 쓰면 ∠QPA′ + ∠APQ = ∠PQB′ + ∠PQB 이고, ∠APQ = ∠PQB 를 대입해 소거하면 ∠QPA′ = ∠PQB′(3), (4), (6), A12, E, A11
(8)(5) 와 견주면 ∠SPA = ∠PQB′. 엇각이 같으면 동위각이 같다.(5), (7), E
(9)거꾸로 ∠SPA = ∠PQB′ 이면 (5) 에서 ∠QPA′ = ∠PQB′ 이고, (3)(4) 를 뒤집어 소거하면 ∠APQ = ∠PQB(3), (4), (5), A12, E, A11
(10)(6) 을 (4) 에 대입하면 ∠APQ + ∠PQB′ = 180°. 엇각이 같으면 동측내각의 합이 180° 이다.(4), (6), E
(11)거꾸로 ∠APQ + ∠PQB′ = 180° 이면 (4) 와 견주어 소거하여 ∠APQ = ∠PQB(4), E, A11
(12)세 조건은 서로 동치다. 이 블록은 A10 을 한 번도 인용하지 않았고 ℓ 과 m 이 만나는지도 묻지 않았다.(8), (9), (10), (11)
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정리 T1
엇각이 같으면 두 직선은 평행하다.
증명.
(1)∠APQ = ∠PQB 라 하자.가정
(2)ℓ 과 m 이 한 점 R 에서 만난다고 하자.가정
(3)R 이 t 위에 있으면 ℓ 또는 m 이 t 와 두 점에서 만나 두 점을 지나는 직선이 둘이 된다. 그러므로 R 은 t 위에 없다.(2), D1, A5
(4)R 은 직선 t = 직선 PQ 위에 없으므로 세 점 P, Q, R 은 삼각형을 이룬다.(3), D1
(5)R 은 직선 t 의 한쪽에 있다.(3), A3
(6)R 이 B 와 같은 쪽에 있는 경우. R 은 m 위에 있으므로 반직선 QB 위에 있고, ℓ 위에 있으므로 반직선 PA′ 위에 있다.(5), D1, A3
(7)반직선 PA 는 반직선 PR 의 반대 반직선이므로 ∠APQ 는 삼각형 PQR 의 P 에서의 외각이고, ∠PQR = ∠PQB 는 이웃하지 않은 내각이다.(4), (6), 약속
(8)∠APQ > ∠PQB(7), A9
(9)그러므로 ∠APQ ≠ ∠PQB 이고 이는 (1) 에 어긋난다.(8), (1), A13
(10)R 이 A 와 같은 쪽에 있는 경우. R 은 반직선 PA 위에 있고 반직선 QB′ 위에 있다.(5), D1, A3
(11)반직선 QB 는 반직선 QR 의 반대 반직선이므로 ∠PQB 는 삼각형 PQR 의 Q 에서의 외각이고, ∠QPR = ∠APQ 는 이웃하지 않은 내각이다.(4), (10), 약속
(12)∠PQB > ∠APQ 이므로 ∠APQ ≠ ∠PQB 이고 역시 (1) 에 어긋난다.(11), (1), A9, A13
(13)두 경우 모두 모순이므로 ℓ 과 m 은 만나지 않는다. 즉 ℓ ∥ m(5), (9), (12)
(14)이 블록이 인용한 것은 외각정리와 평면 분리와 제1공준뿐이다. A10 은 한 번도 쓰이지 않았다.(13), A9, A3, A5
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정리 T2
평행한 두 직선을 한 직선이 자르면 엇각은 같다.
증명.
(1)ℓ ∥ m 이라 하자.가정
(2)ℓ 과 m 은 만나지 않고 Q 는 m 위에 있으므로 Q 는 ℓ 위에 없다.(1), D1
(3)직선 t 의 B 쪽 반평면에 ∠PQC = ∠APQ 인 반직선 QC 가 유일하게 존재한다.D1, A7
(4)반직선 QC 를 품는 직선을 m′ 이라 하면, C 와 A 는 t 의 반대쪽에 있으므로 ∠APQ 와 ∠PQC 는 ℓ 과 m′ 의 엇각이다.(3), D1, A6, A3
(5)엇각이 같으므로 m′ ∥ ℓ(3), (4), T1
(6)Q 를 지나 ℓ 에 평행한 직선은 오직 하나이므로 m′ = m(1), (2), (5), A10
(7)반직선 QC 와 반직선 QB 는 모두 직선 m 위에 있고 t 의 같은 쪽에 있으므로 서로 같은 반직선이다.(3), (6), D1, A3
(8)∠PQB = ∠PQC = ∠APQ(3), (7), E
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따름정리 C1
평행한 두 직선을 한 직선이 자르면 동위각은 같고 동측내각의 합은 180° 이다.
증명.
(1)엇각이 같다.T2
(2)세 관계는 동치이므로 ∠SPA = ∠PQB′(1), L1
(3)같은 이유로 ∠APQ + ∠PQB′ = 180°(1), L1
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따름정리 C2
동위각이 같거나 동측내각의 합이 180° 이면 두 직선은 평행하다.
증명.
(1)동위각이 같으면 세 조건이 동치이므로 엇각이 같다.L1
(2)동측내각의 합이 180° 이면 같은 이유로 엇각이 같다.L1
(3)엇각이 같으므로 ℓ ∥ m(1), (2), T1
(4)L1 과 T1 은 A10 을 인용하지 않으므로 이 방향은 평행선 공준 없이 성립한다.(3), L1, T1
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비고
A10 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
엇각과 평행 사이에는 두 방향이 있다. 두 방향이 인용한 것을 각각 세어 보라.