2¹⁰ · 독이 든 와인
독이 든 와인
와인 1,000병 중 독이 든 병은 하나. 시간은 하룻밤뿐이다. 쥐 몇 마리면 찾아낼 수 있을까?
한 병씩 확인하면 999번, 그런데 주어진 건 하룻밤
먼저 직접 생각해 보세요
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
바로 도전! 병 8개 중 한 병에 독이 들었습니다 (어느 병인지는 비밀). 쥐는 3마리, 시험은 하룻밤 한 번뿐. 병마다 어떤 쥐가 마실지 직접 배정하세요. 아침에 죽은 쥐의 조합만 보고 독 병을 짚어낼 수 있어야 합니다.
막히나요? 병 번호의 비밀
병 번호에서 1을 뺀 수를 이진수 세 자리로 써 보세요. 쥐1은 첫째 자리, 쥐2는 둘째 자리, 쥐3은 셋째 자리를 맡습니다. 자리가 1인 쥐만 그 병을 마시면, 여덟 병의 조합이 저절로 전부 달라져요.
| 병 | 이진수 | 마시는 쥐 |
|---|---|---|
| ① | 000 | 없음 |
| ② | 001 | 🐭1 |
| ③ | 010 | 🐭2 |
| ④ | 011 | 🐭1 🐭2 |
| ⑤ | 100 | 🐭3 |
| ⑥ | 101 | 🐭1 🐭3 |
| ⑦ | 110 | 🐭2 🐭3 |
| ⑧ | 111 | 🐭1 🐭2 🐭3 |
생각을 정리한 뒤 해설 읽기
한 마리가 답할 수 있는 건 한 글자, 그 한 글자를 몇 번 모으면 될까
이 질문이 왜 필요할까요?
연회 전날 밤, 와인 1,000병 중 한 병에 독이 들었습니다. 독은 마신 지 하룻밤이 지나야 효과가 나타나요. 시험할 기회는 단 한 번, 밤 한 번뿐입니다. 오래 사랑받아 온 고전 퍼즐이에요.
처음 드는 생각은 '쥐 한 마리에 병 하나'입니다. 그러면 999마리가 필요하죠. 그런데 답은 10마리예요. 비밀은 병에 번호를 붙이고 그 번호를 이진수로 읽는 것입니다. 쥐 한 마리가 이진수의 한 자리를 맡아요.
이 퍼즐은 사실 정보를 세는 수학입니다. 예/아니오 대답 하나가 1비트. 컴퓨터가 세상 모든 것을 0과 1로 담는 이유, 스무고개가 백만 가지를 가려내는 이유가 같은 뿌리에서 나와요.
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
시험 결과 하나를 단순한 성공·실패로 보지 말고 정보를 담는 한 자리로 생각해 봅시다. 여러 결과를 함께 읽으면 서로 구별할 수 있는 경우의 수가 곱으로 늘어납니다.
결과 두 개가 각각 두 가지 상태를 가진다면 00, 01, 10, 11을 구별할 수 있습니다. 병마다 서로 다른 결과표를 붙일 수 있는지가 질문의 중심입니다. 필요한 자릿수는 직접 찾아보세요.
대답 하나는 세상을 둘로 접는다.
예/아니오 질문 하나로 후보는 절반이 됩니다. 1,000병을 반으로 열 번 접으면 한 병만 남아요. 쥐 10마리는 미리 던져 둔 질문 10개입니다.
조합은 개수보다 빨리 자란다.
쥐를 한 마리 늘릴 때마다 구분할 수 있는 병은 두 배가 됩니다. 더하기가 아니라 곱하기로 자라는 것 — 지수의 힘이 이 퍼즐의 엔진이에요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
문제에 주어진 결과 관찰 시점과 혼합 규칙을 따르는 추상적인 정보 부호화 퍼즐입니다.
병마다 '마실 쥐의 조합'을 다르게 주는 것이 전부입니다. 병 번호를 이진수로 쓰면 그 조합표가 저절로 완성돼요. 하룻밤 뒤 죽은 쥐의 조합이 곧 독 병의 이진수입니다.
공식 해부 — 쥐 열 마리가 만드는 1,024가지 대답
=
이진수 배정
병 번호에서 1을 뺀 수를 이진수로 쓰고, 1인 자리의 쥐가 그 병을 마십니다. 죽은 쥐의 조합을 다시 이진수로 읽으면 독 병이 나와요.
쥐 n마리의 한계
쥐 n마리의 죽살이 조합은 2ⁿ가지입니다. 병 수가 이보다 많으면 어떤 배정으로도 구분이 불가능해요.
로그로 뒤집기
'몇 마리면 되나'는 로그의 질문입니다. 2를 몇 번 곱해야 1,000을 넘는지 — 로그 실험실의 그 질문이에요.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
병이 1,000개니 쥐도 1,000마리쯤 필요하다.
쥐 한 마리를 병 하나에 묶는 생각이 함정입니다. 한 마리가 여러 병을 나눠 마시게 하면, 죽고 사는 조합 전체가 하나의 답이 돼요. 10마리의 조합은 2¹⁰ = 1,024가지라 1,000병을 덮고도 남습니다.
쥐가 죽어야만 정보를 얻는다.
살아남는 것도 똑같은 크기의 정보입니다. '안 죽었다'는 대답이 병의 절반을 지워 주니까요. 모든 쥐가 살아남은 조합조차 병 하나를 가리킵니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
스무고개
예/아니오 20번이면 2²⁰, 약 105만 가지를 가려냅니다. 스무고개가 웬만한 것을 다 맞히는 이유예요.
이진 탐색
사전에서 단어를 찾을 때 가운데를 펴고 앞뒤를 버립니다. 10억 개 데이터도 30번이면 찾아요. 컴퓨터 검색의 기본기입니다.
혈액 풀링 검사
여러 사람의 검체를 섞어 한 번에 검사하고, 양성인 묶음만 다시 좁힙니다. 감염병 시기에 검사 수를 크게 줄인 실제 기법이에요.
컴퓨터의 비트
사진도 음악도 결국 예/아니오의 나열입니다. 정보의 최소 단위 1비트 — 이 퍼즐의 쥐 한 마리가 정확히 그것이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
결과가 하나 늘어날 때 구별 가능한 패턴 수는 어떻게 변하나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
각 기존 패턴 뒤에 두 상태를 붙일 수 있으므로 두 배가 됩니다. 서로 다른 대상에는 서로 다른 패턴이 필요합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 와인 1,000병 중 독 1병을 하룻밤에 가려내려면 쥐는 최소 몇 마리가 필요할까요?
2. 쥐 한 마리가 하룻밤에 전할 수 있는 정보는 무엇일까요?
3. 쥐 4마리로 하룻밤에 구분할 수 있는 병은 최대 몇 개일까요?
4. 병이 100만 개로 늘어난다면 쥐는 몇 마리가 필요할까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
이전 개념
다음 개념으로 연결
관련 실험실
관련 실험실