PROOF 102
증명하라.
근과 계수의 관계
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 의 근은 대입하여 등식이 성립하는 수 x 이다.
증명.
(1)a ≠ 0 은 이 식이 이차식이기 위한 조건이며, 아래 모든 블록에서 가정한다.약속
(2)u − v 는 u + (−v) 를, b/a 는 b·a⁻¹ 을 뜻한다.약속, A12
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보조정리 L1
모든 p, α, β 에 대하여 p(x − α)(x − β) = px² − p(α + β)x + pαβ
증명.
(1)(x − α)(x − β) = x(x − β) + (−α)(x − β)A8, A10
(2)x(x − β) = x² + (−(βx))A8, A18, A10
(3)(−α)(x − β) = (−(αx)) + αβA8, A18, A21
(4)(x − α)(x − β) = x² + (−(βx)) + (−(αx)) + αβ(1), (2), (3), A13, A14
(5)(−(βx)) + (−(αx)) = −(βx + αx)A19
(6)βx + αx = (β + α)x = (α + β)xA8, A10, A14
(7)(x − α)(x − β) = x² − (α + β)x + αβ(4), (5), (6)
(8)양변에 p 를 곱하면 p(x−α)(x−β) = px² + p(−((α+β)x)) + p(αβ)(7), E, A8, A13, A9
(9)p(−((α+β)x)) = −(p(α+β)x)A18, A10, A9
(10)p(x−α)(x−β) = px² − p(α+β)x + pαβ(8), (9), A9
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보조정리 L2
서로 다른 α, β 가 ax² + bx + c = 0 의 근이면 ax² + bx + c = p(x − α)(x − β) 인 p 가 있다.
증명.
(1)f(x) = ax² + bx + c 로 둔다.약속
(2)f(α) = 0 이므로 f(x) = (x − α)(px + d) 인 p, d 가 있다.가정, D1, A1
(3)x = β 를 대입하면 0 = (β − α)(pβ + d)(2), 가정, D1, A3, A4, A5, A6
(4)β ≠ α 이므로 β − α ≠ 0 이다.가정, E, A13, A14, A15, A16
(5)곱이 0 이므로 pβ + d = 0 이다.(3), (4), A7
(6)양변에 −(pβ) 를 더하면 d = −(pβ)(5), E, A13, A14, A15, A16
(7)px + d = px + (−(pβ)) = p(x − β)(6), A8, A18, A10
(8)f(x) = (x − α)·p(x − β) = p(x − α)(x − β)(2), (7), A9, A10
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정리 T
α, β 가 ax² + bx + c = 0 의 서로 다른 두 근이면 α + β = −b/a, αβ = c/a
증명.
(1)f(x) = p(x − α)(x − β) 인 p 가 있다.L2
(2)p(x−α)(x−β) = px² − p(α+β)x + pαβL1
(3)모든 x 에서 ax² + bx + c = px² − p(α+β)x + pαβ 이다.(1), (2)
(4)계수를 비교하면 a = p, b = −(a(α+β)), c = aαβ 이다.(3), A2
(5)b + a(α + β) = 0(4), E, A14, A16
(6)양변에 a⁻¹ 을 곱하면 a⁻¹b + (α + β) = 0(5), E, A8, A9, A12, A10, A11, A17
(7)a⁻¹b + (−(a⁻¹b)) = 0 이므로 α + β = −(a⁻¹b) = −b/a(6), A16, A20, A10, D1
(8)c = aαβ 의 양변에 a⁻¹ 을 곱하면 a⁻¹c = (a⁻¹a)αβ = αβ(4), E, A9, A12, A10, A11
(9)αβ = ca⁻¹ = c/a(8), A10, D1
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따름정리 C
임의의 α, β 에 대하여 x² − (α + β)x + αβ = 0 의 근은 α 와 β 뿐이다.
증명.
(1)L1 에서 p = 1 로 두면 (x − α)(x − β) = x² − (α+β)x + αβL1, A11, A10
(2)x = α 를 대입하면 (α − α)(α − β) = 0 × (α − β) = 0(1), A3, A4, A5, A6, A16, A17, A10
(3)x = β 를 대입하면 (β − α)(β − β) = (β − α) × 0 = 0(1), A3, A4, A5, A6, A16, A17
(4)그러므로 α 와 β 는 근이다.(2), (3), D1
(5)γ 가 근이면 (γ − α)(γ − β) = 0 이다.(1), D1, A3, A4, A5, A6
(6)γ ≠ α 이고 γ ≠ β 이면 γ − α ≠ 0, γ − β ≠ 0 이므로 곱은 0 이 아니다.E, A13, A14, A15, A16, A7
(7)그러므로 근은 α 와 β 뿐이다.(5), (6)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
두 식이 모든 x 에서 같은 값을 내는 것과, 두 식의 계수가 같은 것을 나누어 보라.